Номер 7.64, страница 79 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 7. Квадратичная функция, её график и свойства - номер 7.64, страница 79.

Условие.

7.64. На координатной плоскости $xy$ укажите все точки, через которые не проходит ни одна из парабол вида $y = x^2 - 4ax + 2a^2 - 3.

Решение.

Рассмотрим данное семейство парабол $y = x^2 - 4ax + 2a^2 - 3$, где $a$ — действительный параметр.

Чтобы найти все точки $(x, y)$ на координатной плоскости, через которые не проходит ни одна из парабол данного вида, рассмотрим это уравнение как уравнение относительно параметра $a$ при фиксированных $x$ и $y$.

Перегруппируем члены уравнения, чтобы получить квадратное уравнение относительно $a$:

$y = x^2 - 4ax + 2a^2 - 3$

$2a^2 - (4x)a + (x^2 - y - 3) = 0$

Точка $(x, y)$ принадлежит какой-либо параболе из семейства, если это квадратное уравнение относительно $a$ имеет хотя бы одно действительное решение. Соответственно, точка $(x, y)$ не принадлежит ни одной параболе из семейства, если это уравнение не имеет действительных решений.

Квадратное уравнение $Aa^2 + Ba + C = 0$ не имеет действительных решений тогда и только тогда, когда его дискриминант $D$ отрицателен ($D < 0$).

Вычислим дискриминант нашего уравнения относительно $a$:

$D = B^2 - 4AC = (-4x)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (x^2 - y - 3)$

$D = 16x^2 - 8(x^2 - y - 3)$

$D = 16x^2 - 8x^2 + 8y + 24$

$D = 8x^2 + 8y + 24$

Условие отсутствия действительных решений для $a$ — это $D < 0$:

$8x^2 + 8y + 24 < 0$

Разделим обе части неравенства на 8:

$x^2 + y + 3 < 0$

Выразим $y$:

$y < -x^2 - 3$

Таким образом, множество точек, через которые не проходит ни одна парабола из заданного семейства, — это все точки $(x, y)$, удовлетворяющие неравенству $y < -x^2 - 3$. Геометрически это область, расположенная строго ниже параболы $y = -x^2 - 3$.

Ответ: Множество всех точек $(x, y)$, для которых выполняется неравенство $y < -x^2 - 3$.