Номер 7.62, страница 79 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 7. Квадратичная функция, её график и свойства - номер 7.62, страница 79.

Условие.

7.62. При каких значениях параметра $a$ произведение корней уравнения $x^2 - 2ax + a^2 - 2a + 4 = 0$ будет наименьшим?

Решение.

Данное уравнение $x^2 - 2ax + a^2 - 2a + 4 = 0$ является квадратным. Уравнение имеет действительные корни тогда и только тогда, когда его дискриминант $D$ неотрицателен.

Найдем дискриминант:$D = (-2a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a^2 - 2a + 4) = 4a^2 - 4a^2 + 8a - 16 = 8a - 16$.

Условие существования корней $D \ge 0$ дает нам следующее неравенство для параметра $a$:$8a - 16 \ge 0$$8a \ge 16$$a \ge 2$Таким образом, уравнение имеет корни только при $a \in [2; +\infty)$.

По теореме Виета, произведение корней $x_1$ и $x_2$ приведенного квадратного уравнения $x^2+px+q=0$ равно свободному члену $q$. Для данного уравнения произведение корней равно:$P = x_1 \cdot x_2 = a^2 - 2a + 4$.

Нам нужно найти, при каком значении $a$ из промежутка $[2; +\infty)$ функция $P(a) = a^2 - 2a + 4$ принимает наименьшее значение.

Графиком функции $P(a)$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Минимальное значение такая функция принимает в своей вершине. Найдем абсциссу вершины параболы:$a_{вершины} = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$.

Найденное значение $a_{вершины} = 1$ не принадлежит промежутку $[2; +\infty)$. Поскольку ветви параболы направлены вверх, на промежутке $[1; +\infty)$ функция $P(a)$ возрастает. Следовательно, на промежутке $[2; +\infty)$ функция также возрастает.Наименьшее значение на заданном промежутке возрастающая функция принимает в его начальной точке.Таким образом, наименьшее значение произведение корней принимает при $a = 2$.

Ответ: $a = 2$.