Номер 7.59, страница 79 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 7. Квадратичная функция, её график и свойства - номер 7.59, страница 79.

Условие.

7.59. При каких значениях параметра $a$ уравнение $|x^2 - 4x + 3| + x - a = 0$ имеет три корня?

Решение.

Перепишем исходное уравнение, выразив параметр $a$ через $x$:

$|x^2 - 4x + 3| + x - a = 0$

$a = |x^2 - 4x + 3| + x$

Задача сводится к нахождению таких значений $a$, при которых горизонтальная прямая $y=a$ пересекает график функции $y(x) = |x^2 - 4x + 3| + x$ ровно в трех точках.

Для построения графика функции $y(x)$, раскроем модуль. Выражение под модулем $x^2 - 4x + 3$ обращается в ноль при $x_1=1$ и $x_2=3$. Это парабола с ветвями вверх, поэтому $x^2 - 4x + 3 \ge 0$ при $x \in (-\infty, 1] \cup [3, \infty)$ и $x^2 - 4x + 3 < 0$ при $x \in (1, 3)$.

Таким образом, функция $y(x)$ является кусочно-заданной:

$y(x) = \begin{cases} (x^2 - 4x + 3) + x = x^2 - 3x + 3, & \text{если } x \le 1 \text{ или } x \ge 3 \\ -(x^2 - 4x + 3) + x = -x^2 + 5x - 3, & \text{если } 1 < x < 3 \end{cases}$

Исследуем каждую часть функции:

1. На промежутках $(-\infty, 1]$ и $[3, \infty)$ график функции совпадает с параболой $y_1(x) = x^2 - 3x + 3$. Это парабола с ветвями вверх, вершина которой находится в точке $x_v = -\frac{-3}{2 \cdot 1} = 1.5$. Эта точка не входит в рассматриваемые промежутки. Найдем значения функции на границах:

$y(1) = 1^2 - 3(1) + 3 = 1$

$y(3) = 3^2 - 3(3) + 3 = 3$

2. На промежутке $(1, 3)$ график функции совпадает с параболой $y_2(x) = -x^2 + 5x - 3$. Это парабола с ветвями вниз, вершина которой находится в точке $x_v = -\frac{5}{2 \cdot (-1)} = 2.5$. Эта точка принадлежит интервалу $(1, 3)$, следовательно, в ней находится локальный максимум функции $y(x)$.

Найдем значение локального максимума:

$y(2.5) = -(2.5)^2 + 5(2.5) - 3 = -6.25 + 12.5 - 3 = 3.25 = \frac{13}{4}$

Итак, график функции $y(x)$ имеет следующие ключевые точки (точки локальных экстремумов):

• Локальный минимум в точке $(1, 1)$.
• Локальный максимум в точке $(2.5, 3.25)$.
• Локальный минимум в точке $(3, 3)$.

Уравнение будет иметь три корня, если прямая $y=a$ пройдет через одну из точек локального экстремума. Проверим эти случаи.

Случай 1: $a = 3$. Прямая проходит через точку локального минимума $(3, 3)$. Найдем все корни уравнения $|x^2 - 4x + 3| + x = 3$.

• При $x \le 1$ или $x \ge 3$: $x^2 - 3x + 3 = 3 \Rightarrow x^2 - 3x = 0 \Rightarrow x(x-3)=0$. Корни $x=0$ и $x=3$. Оба удовлетворяют условиям.
• При $1 < x < 3$: $-x^2 + 5x - 3 = 3 \Rightarrow x^2 - 5x + 6 = 0 \Rightarrow (x-2)(x-3)=0$. Корень $x=2$ (корень $x=3$ не входит в интервал).

Всего получаем три различных корня: $0, 2, 3$. Следовательно, $a=3$ является решением.

Случай 2: $a = 3.25 = \frac{13}{4}$. Прямая проходит через точку локального максимума $(2.5, 3.25)$. Найдем все корни уравнения $|x^2 - 4x + 3| + x = 3.25$.

• При $x \le 1$ или $x \ge 3$: $x^2 - 3x + 3 = 3.25 \Rightarrow x^2 - 3x - 0.25 = 0 \Rightarrow 4x^2 - 12x - 1 = 0$. Дискриминант $D = 144 - 4(4)(-1) = 160$. Корни $x = \frac{12 \pm \sqrt{160}}{8} = \frac{12 \pm 4\sqrt{10}}{8} = \frac{3 \pm \sqrt{10}}{2}$. $x_1 = \frac{3 - \sqrt{10}}{2} < 1$ (удовлетворяет), $x_2 = \frac{3 + \sqrt{10}}{2} > 3$ (удовлетворяет).
• При $1 < x < 3$: $-x^2 + 5x - 3 = 3.25 \Rightarrow -x^2 + 5x - 6.25 = 0 \Rightarrow x^2 - 5x + 6.25 = 0 \Rightarrow (x-2.5)^2=0$. Корень $x=2.5$. Удовлетворяет условию $1 < x < 3$.

Всего получаем три различных корня: $\frac{3 - \sqrt{10}}{2}$, $2.5$, $\frac{3 + \sqrt{10}}{2}$. Следовательно, $a=3.25$ также является решением.

Случай 3: $a = 1$. Прямая проходит через точку локального минимума $(1, 1)$.

• При $x \le 1$ или $x \ge 3$: $x^2 - 3x + 3 = 1 \Rightarrow x^2 - 3x + 2 = 0 \Rightarrow (x-1)(x-2)=0$. Корень $x=1$ (удовлетворяет), $x=2$ (не удовлетворяет).
• При $1 < x < 3$: $-x^2 + 5x - 3 = 1 \Rightarrow x^2 - 5x + 4 = 0 \Rightarrow (x-1)(x-4)=0$. Оба корня не входят в интервал $(1,3)$.

При $a=1$ уравнение имеет только один корень. Этот случай не подходит.

При других значениях $a$ количество корней будет равно 0, 1, 2 или 4.

Таким образом, уравнение имеет ровно три корня при $a=3$ и $a=3.25$.

Ответ: $a=3$, $a=3.25$.