Номер 7.65, страница 79 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 7. Квадратичная функция, её график и свойства - номер 7.65, страница 79.

Условие.

7.65. Функция $f(x) = x^2 + bx + c$ имеет два нуля, один из которых принадлежит промежутку $(0; 1)$, а другой не принадлежит этому промежутку. Докажите, что $f(c) \leq 0$.

Решение.

Пусть $f(x) = x^2 + bx + c$. По условию, эта функция имеет два нуля (корня), которые мы обозначим как $x_1$ и $x_2$.

Из условия задачи мы знаем, что один корень принадлежит промежутку $(0; 1)$, а другой не принадлежит этому промежутку. Без ограничения общности, пусть $x_1 \in (0; 1)$, а $x_2 \notin (0; 1)$.

Согласно теореме Виета для квадратного уравнения $x^2 + bx + c = 0$, сумма и произведение его корней связаны с коэффициентами следующим образом:

• $x_1 + x_2 = -b$
• $x_1 \cdot x_2 = c$

Нам нужно доказать, что $f(c) \le 0$. Найдем значение функции в точке $c$:

$f(c) = c^2 + bc + c$

Теперь подставим в это выражение значения $b$ и $c$, выраженные через корни $x_1$ и $x_2$:

$b = -(x_1 + x_2)$

$c = x_1 x_2$

$f(c) = (x_1 x_2)^2 - (x_1 + x_2)(x_1 x_2) + (x_1 x_2)$

Вынесем общий множитель $x_1 x_2$ за скобки:

$f(c) = x_1 x_2 [x_1 x_2 - (x_1 + x_2) + 1]$

Разложим выражение в скобках на множители:

$x_1 x_2 - x_1 - x_2 + 1 = x_1(x_2 - 1) - (x_2 - 1) = (x_1 - 1)(x_2 - 1)$

Таким образом, мы получили выражение для $f(c)$ через корни $x_1$ и $x_2$:

$f(c) = x_1 x_2 (x_1 - 1)(x_2 - 1)$

Перегруппируем множители для удобства анализа:

$f(c) = [x_1 (x_1 - 1)] \cdot [x_2 (x_2 - 1)]$

Теперь проанализируем знаки каждого из сомножителей в квадратных скобках, используя условия задачи.

1. Анализ выражения $[x_1(x_1 - 1)]$:

По условию $x_1 \in (0; 1)$, что означает $0 < x_1 < 1$.

Отсюда следует, что $x_1 > 0$ и $(x_1 - 1) < 0$.

Произведение положительного и отрицательного числа отрицательно, следовательно, $x_1(x_1 - 1) < 0$.

2. Анализ выражения $[x_2(x_2 - 1)]$:

По условию $x_2 \notin (0; 1)$. Это означает, что $x_2 \le 0$ или $x_2 \ge 1$.

• Если $x_2 \le 0$, то множитель $x_2$ является неположительным, а множитель $(x_2 - 1)$ — отрицательным. Их произведение $x_2(x_2 - 1)$ будет неотрицательным (равно нулю при $x_2=0$ и положительно при $x_2<0$). То есть $x_2(x_2 - 1) \ge 0$.
• Если $x_2 \ge 1$, то множитель $x_2$ является положительным, а множитель $(x_2 - 1)$ — неотрицательным. Их произведение $x_2(x_2 - 1)$ также будет неотрицательным (равно нулю при $x_2=1$ и положительно при $x_2>1$). То есть $x_2(x_2 - 1) \ge 0$.

В обоих случаях для $x_2$ мы получаем, что $x_2(x_2 - 1) \ge 0$.

3. Итоговый анализ знака $f(c)$:

Мы имеем $f(c) = [x_1(x_1 - 1)] \cdot [x_2(x_2 - 1)]$.

Это произведение отрицательного числа ($x_1(x_1 - 1) < 0$) и неотрицательного числа ($x_2(x_2 - 1) \ge 0$).

Произведение отрицательного и неотрицательного числа всегда является неположительным.

Следовательно, $f(c) \le 0$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.