Номер 8.1, страница 84 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 8. Решение квадратных неравенств - номер 8.1, страница 84.

Условие.

8.1. Решите неравенство:

1) $x^2 + 6x - 7 < 0$;

2) $x^2 - 2x - 48 \ge 0$;

3) $-x^2 - 6x - 5 > 0$;

4) $-x^2 + 4x - 3 < 0$;

5) $3x^2 - 7x + 4 \le 0$;

6) $x^2 - 12x + 36 > 0$;

7) $4x^2 - 12x + 9 \ge 0$;

8) $x^2 + 4x + 4 < 0$;

9) $49x^2 - 14x + 1 \le 0$;

10) $3x^2 - 4x + 5 \le 0$;

11) $-4x^2 + 5x - 7 > 0$;

12) $-2x^2 + 3x - 2 \le 0$.

Решение.

1) $x^2 + 6x - 7 < 0$

Для решения квадратного неравенства сначала найдем корни соответствующего уравнения $x^2 + 6x - 7 = 0$.

Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64 = 8^2$.

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-6 - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 - 8}{2} = -7$

$x_2 = \frac{-6 + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 + 8}{2} = 1$

Графиком функции $y = x^2 + 6x - 7$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1>0$). Парабола пересекает ось Ох в точках $x=-7$ и $x=1$.

Неравенство $x^2 + 6x - 7 < 0$ выполняется там, где график параболы находится ниже оси Ох, то есть между корнями.

Ответ: $x \in (-7; 1)$.

2) $x^2 - 2x - 48 \ge 0$

Решим уравнение $x^2 - 2x - 48 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-48) = 4 + 192 = 196 = 14^2$.

Найдем корни:

$x_1 = \frac{2 - 14}{2} = -6$

$x_2 = \frac{2 + 14}{2} = 8$

Ветви параболы $y = x^2 - 2x - 48$ направлены вверх ($a=1>0$). Неравенство $\ge 0$ выполняется там, где парабола находится на оси Ох или выше нее. Это происходит на промежутках левее меньшего корня и правее большего корня, включая сами корни.

Ответ: $x \in (-\infty; -6] \cup [8; +\infty)$.

3) $-x^2 - 6x - 5 > 0$

Умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства на противоположный: $x^2 + 6x + 5 < 0$.

Решим уравнение $x^2 + 6x + 5 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16 = 4^2$.

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-6 - 4}{2} = -5$

$x_2 = \frac{-6 + 4}{2} = -1$

Ветви параболы $y = x^2 + 6x + 5$ направлены вверх ($a=1>0$). Неравенство $< 0$ выполняется между корнями.

Ответ: $x \in (-5; -1)$.

4) $-x^2 + 4x - 3 < 0$

Умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства на противоположный: $x^2 - 4x + 3 > 0$.

Решим уравнение $x^2 - 4x + 3 = 0$. По теореме Виета корни $x_1=1$, $x_2=3$.

Ветви параболы $y = x^2 - 4x + 3$ направлены вверх ($a=1>0$). Неравенство $> 0$ выполняется вне интервала между корнями.

Ответ: $x \in (-\infty; 1) \cup (3; +\infty)$.

5) $3x^2 - 7x + 4 \le 0$

Решим уравнение $3x^2 - 7x + 4 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 49 - 48 = 1$.

Найдем корни:

$x_1 = \frac{7 - 1}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1$

$x_2 = \frac{7 + 1}{2 \cdot 3} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$

Ветви параболы $y = 3x^2 - 7x + 4$ направлены вверх ($a=3>0$). Неравенство $\le 0$ выполняется на отрезке между корнями, включая сами корни.

Ответ: $x \in [1; \frac{4}{3}]$.

6) $x^2 - 12x + 36 > 0$

Левая часть неравенства является полным квадратом: $x^2 - 2 \cdot x \cdot 6 + 6^2 = (x-6)^2$.

Получаем неравенство $(x-6)^2 > 0$.

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $(x-6)^2 \ge 0$. Равенство нулю достигается при $x=6$.

Следовательно, строгое неравенство $(x-6)^2 > 0$ выполняется для всех $x$, кроме $x=6$.

Ответ: $x \in (-\infty; 6) \cup (6; +\infty)$.

7) $4x^2 - 12x + 9 \ge 0$

Левая часть неравенства является полным квадратом: $(2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 3 + 3^2 = (2x-3)^2$.

Получаем неравенство $(2x-3)^2 \ge 0$.

Квадрат любого действительного числа всегда больше или равен нулю. Следовательно, это неравенство выполняется для всех действительных значений $x$.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

8) $x^2 + 4x + 4 < 0$

Левая часть неравенства является полным квадратом: $x^2 + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 = (x+2)^2$.

Получаем неравенство $(x+2)^2 < 0$.

Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Следовательно, это неравенство не имеет решений.

Ответ: $\emptyset$.

9) $49x^2 - 14x + 1 \le 0$

Левая часть неравенства является полным квадратом: $(7x)^2 - 2 \cdot 7x \cdot 1 + 1^2 = (7x-1)^2$.

Получаем неравенство $(7x-1)^2 \le 0$.

Квадрат действительного числа не может быть отрицательным. Он может быть только равен нулю. Значит, неравенство сводится к уравнению $(7x-1)^2 = 0$.

$7x - 1 = 0 \implies 7x = 1 \implies x = \frac{1}{7}$.

Неравенство выполняется только в одной точке.

Ответ: $x = \frac{1}{7}$.

10) $3x^2 - 4x + 5 \le 0$

Рассмотрим функцию $y = 3x^2 - 4x + 5$. Ветви параболы направлены вверх ($a=3>0$).

Найдем дискриминант уравнения $3x^2 - 4x + 5 = 0$:

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 5 = 16 - 60 = -44$.

Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней, и парабола не пересекает ось Ох. Поскольку ветви направлены вверх, вся парабола лежит выше оси Ох. Это значит, что выражение $3x^2 - 4x + 5$ всегда положительно.

Следовательно, неравенство $3x^2 - 4x + 5 \le 0$ не имеет решений.

Ответ: $\emptyset$.

11) $-4x^2 + 5x - 7 > 0$

Умножим обе части на -1 и сменим знак: $4x^2 - 5x + 7 < 0$.

Рассмотрим функцию $y = 4x^2 - 5x + 7$. Ветви параболы направлены вверх ($a=4>0$).

Найдем дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 7 = 25 - 112 = -87$.

Так как $D < 0$, парабола не пересекает ось Ох и, так как ветви вверх, целиком лежит в верхней полуплоскости. Значение выражения $4x^2 - 5x + 7$ всегда положительно.

Следовательно, неравенство $4x^2 - 5x + 7 < 0$ не имеет решений.

Ответ: $\emptyset$.

12) $-2x^2 + 3x - 2 \le 0$

Умножим обе части на -1 и сменим знак: $2x^2 - 3x + 2 \ge 0$.

Рассмотрим функцию $y = 2x^2 - 3x + 2$. Ветви параболы направлены вверх ($a=2>0$).

Найдем дискриминант: $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 9 - 16 = -7$.

Так как $D < 0$, парабола не пересекает ось Ох и, так как ветви вверх, целиком лежит в верхней полуплоскости. Это означает, что выражение $2x^2 - 3x + 2$ всегда положительно.

Следовательно, неравенство $2x^2 - 3x + 2 \ge 0$ выполняется для всех действительных чисел $x$.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.