Номер 8.4, страница 85 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 8. Решение квадратных неравенств - номер 8.4, страница 85.

Условие.

8.4. Найдите множество решений неравенства:

1) $x^2 > 1$;

2) $x^2 < 3$;

3) $-3x^2 \ge -12x$;

4) $-2x^2 < -128.$

Решение.

1) Решим неравенство $x^2 > 1$.
Перенесем 1 в левую часть неравенства, чтобы сравнить выражение с нулем:
$x^2 - 1 > 0$
Разложим левую часть на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$(x - 1)(x + 1) > 0$
Найдем корни соответствующего уравнения $(x - 1)(x + 1) = 0$. Корнями являются $x_1 = -1$ и $x_2 = 1$.
Эти точки делят числовую ось на три интервала: $(-\infty, -1)$, $(-1, 1)$ и $(1, +\infty)$.
Определим знак выражения $(x - 1)(x + 1)$ в каждом интервале. Функция $y = x^2 - 1$ представляет собой параболу с ветвями, направленными вверх. Следовательно, значения функции положительны вне интервала между корнями.
Таким образом, неравенство выполняется при $x < -1$ или $x > 1$.
Ответ: $(-\infty, -1) \cup (1, +\infty)$

2) Решим неравенство $x^2 < 3$.
Перенесем 3 в левую часть:
$x^2 - 3 < 0$
Найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 3 = 0$. Корнями являются $x_1 = -\sqrt{3}$ и $x_2 = \sqrt{3}$.
Неравенство можно переписать в виде $(x + \sqrt{3})(x - \sqrt{3}) < 0$.
Функция $y = x^2 - 3$ — это парабола с ветвями вверх. Значения функции отрицательны между ее корнями.
Следовательно, решение неравенства — это интервал $-\sqrt{3} < x < \sqrt{3}$.
Ответ: $(-\sqrt{3}, \sqrt{3})$

3) Решим неравенство $-3x^2 \ge -12x$.
Перенесем все члены в левую часть:
$-3x^2 + 12x \ge 0$
Разделим обе части неравенства на -3. Важно помнить, что при делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$x^2 - 4x \le 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x - 4) \le 0$
Найдем корни соответствующего уравнения $x(x - 4) = 0$. Корнями являются $x_1 = 0$ и $x_2 = 4$.
Функция $y = x^2 - 4x$ — это парабола с ветвями вверх. Значения функции меньше или равны нулю на отрезке между корнями, включая сами корни (поскольку неравенство нестрогое).
Таким образом, решение неравенства — это отрезок $0 \le x \le 4$.
Ответ: $[0, 4]$

4) Решим неравенство $-2x^2 < -128$.
Разделим обе части неравенства на -2, изменив знак неравенства на противоположный:
$x^2 > \frac{-128}{-2}$
$x^2 > 64$
Перенесем 64 в левую часть:
$x^2 - 64 > 0$
Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов:
$(x - 8)(x + 8) > 0$
Найдем корни соответствующего уравнения $(x - 8)(x + 8) = 0$. Корнями являются $x_1 = -8$ и $x_2 = 8$.
Функция $y = x^2 - 64$ — это парабола с ветвями вверх. Значения функции положительны вне интервала между корнями.
Таким образом, неравенство выполняется при $x < -8$ или $x > 8$.
Ответ: $(-\infty, -8) \cup (8, +\infty)$