Номер 8.3, страница 85 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 8. Решение квадратных неравенств - номер 8.3, страница 85.

Условие.

8.3. Найдите множество решений неравенства:

1) $x^2 \le 49$;

2) $x^2 > 5$;

3) $7x^2 \le 4x$;

4) $0,9x^2 < -27x$.

Решение.

1) $x^2 \le 49$
Перенесем 49 в левую часть, чтобы получить квадратное неравенство:
$x^2 - 49 \le 0$
Разложим левую часть на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:
$(x - 7)(x + 7) \le 0$
Найдем корни соответствующего уравнения $(x - 7)(x + 7) = 0$. Корнями являются $x = 7$ и $x = -7$.
Эти корни разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty; -7]$, $[-7; 7]$ и $[7; \infty)$.
Чтобы найти, где выражение $(x - 7)(x + 7)$ меньше или равно нулю, воспользуемся методом интервалов. Графиком функции $y = x^2 - 49$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, значения функции будут неположительными (меньше или равны нулю) между корнями, включая сами корни.
Таким образом, решение неравенства: $-7 \le x \le 7$.
В виде множества это записывается как отрезок $[-7; 7]$.
Ответ: $x \in [-7; 7]$.

2) $x^2 > 5$
Перенесем 5 в левую часть:
$x^2 - 5 > 0$
Разложим левую часть на множители:
$(x - \sqrt{5})(x + \sqrt{5}) > 0$
Корнями соответствующего уравнения $(x - \sqrt{5})(x + \sqrt{5}) = 0$ являются $x = \sqrt{5}$ и $x = -\sqrt{5}$.
Эти корни разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty; -\sqrt{5})$, $(-\sqrt{5}; \sqrt{5})$ и $(\sqrt{5}; \infty)$.
Графиком функции $y = x^2 - 5$ является парабола с ветвями вверх. Значения функции будут положительными (больше нуля) вне интервала между корнями.
Поскольку неравенство строгое, сами корни в решение не входят.
Таким образом, решение неравенства: $x < -\sqrt{5}$ или $x > \sqrt{5}$.
В виде множества это записывается как объединение двух интервалов.
Ответ: $x \in (-\infty; -\sqrt{5}) \cup (\sqrt{5}; \infty)$.

3) $7x^2 \le 4x$
Перенесем все члены в левую часть:
$7x^2 - 4x \le 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(7x - 4) \le 0$
Найдем корни соответствующего уравнения $x(7x - 4) = 0$. Корнями являются $x = 0$ и $7x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4/7$.
Эти корни разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty; 0]$, $[0; 4/7]$ и $[4/7; \infty)$.
Графиком функции $y = 7x^2 - 4x$ является парабола с ветвями вверх. Следовательно, неположительные значения функция принимает между корнями, включая сами корни.
Таким образом, решение неравенства: $0 \le x \le 4/7$.
В виде множества это записывается как отрезок $[0; 4/7]$.
Ответ: $x \in [0; 4/7]$.

4) $0,9x^2 < -27x$
Перенесем все члены в левую часть:
$0,9x^2 + 27x < 0$
Чтобы избавиться от десятичной дроби, умножим обе части неравенства на 10 (знак неравенства не изменится):
$9x^2 + 270x < 0$
Разделим обе части на 9:
$x^2 + 30x < 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x + 30) < 0$
Найдем корни соответствующего уравнения $x(x + 30) = 0$. Корнями являются $x = 0$ и $x = -30$.
Эти корни разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty; -30)$, $(-30; 0)$ и $(0; \infty)$.
Графиком функции $y = x^2 + 30x$ является парабола с ветвями вверх. Отрицательные значения функция принимает между корнями.
Поскольку неравенство строгое, сами корни в решение не входят.
Таким образом, решение неравенства: $-30 < x < 0$.
В виде множества это записывается как интервал $(-30; 0)$.
Ответ: $x \in (-30; 0)$.