Номер 8.2, страница 85 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 8. Решение квадратных неравенств - номер 8.2, страница 85.

Условие.

8.2. Решите неравенство:

1) $x^2 + 4x + 3 > 0;$

2) $x^2 - 3x + 2 \le 0;$

3) $-x^2 + 12x + 45 < 0;$

4) $-3x^2 - 5x - 2 \ge 0;$

5) $5x^2 - 3x + 1 \ge 0;$

6) $-3x^2 + 6x - 4 > 0;$

7) $\frac{1}{3}x^2 - 2x + 3 \le 0;$

8) $-x^2 + \frac{1}{3}x - \frac{1}{36} > 0;$

9) $2x^2 - 2x + 0,5 < 0.$

Решение.

1) Решим неравенство $x^2 + 4x + 3 > 0$.

Рассмотрим функцию $y = x^2 + 4x + 3$. Это квадратичная функция, график которой — парабола. Так как коэффициент при $x^2$ равен $1$ ($a=1>0$), ветви параболы направлены вверх.

Найдем нули функции, решив уравнение $x^2 + 4x + 3 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4$.

Найдем корни: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{-4 \pm 2}{2}$.

$x_1 = \frac{-4 - 2}{2} = -3$, $x_2 = \frac{-4 + 2}{2} = -1$.

Парабола пересекает ось абсцисс в точках $-3$ и $-1$. Так как ветви направлены вверх, функция принимает положительные значения ($y > 0$) на промежутках левее меньшего корня и правее большего корня.

Следовательно, решение неравенства: $x \in (-\infty; -3) \cup (-1; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup (-1; +\infty)$.

2) Решим неравенство $x^2 - 3x + 2 \le 0$.

Рассмотрим функцию $y = x^2 - 3x + 2$. Ветви параболы направлены вверх, так как $a=1>0$.

Найдем нули функции: $x^2 - 3x + 2 = 0$.

По теореме Виета, $x_1 + x_2 = 3$ и $x_1 \cdot x_2 = 2$. Корни: $x_1 = 1$, $x_2 = 2$.

Парабола пересекает ось абсцисс в точках $1$ и $2$. Так как ветви направлены вверх, функция принимает неположительные значения ($y \le 0$) между корнями, включая сами корни.

Следовательно, решение неравенства: $x \in [1; 2]$.

Ответ: $x \in [1; 2]$.

3) Решим неравенство $-x^2 + 12x + 45 < 0$.

Умножим обе части неравенства на $-1$, изменив знак неравенства на противоположный:

$x^2 - 12x - 45 > 0$.

Рассмотрим функцию $y = x^2 - 12x - 45$. Ветви параболы направлены вверх ($a=1>0$).

Найдем нули функции: $x^2 - 12x - 45 = 0$.

Дискриминант: $D = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-45) = 144 + 180 = 324 = 18^2$.

Корни: $x_{1,2} = \frac{12 \pm 18}{2}$.

$x_1 = \frac{12 - 18}{2} = -3$, $x_2 = \frac{12 + 18}{2} = 15$.

Парабола пересекает ось абсцисс в точках $-3$ и $15$. Функция принимает положительные значения ($y > 0$) вне интервала между корнями.

Следовательно, решение неравенства: $x \in (-\infty; -3) \cup (15; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup (15; +\infty)$.

4) Решим неравенство $-3x^2 - 5x - 2 \ge 0$.

Умножим обе части на $-1$, изменив знак неравенства:

$3x^2 + 5x + 2 \le 0$.

Рассмотрим функцию $y = 3x^2 + 5x + 2$. Ветви параболы направлены вверх ($a=3>0$).

Найдем нули функции: $3x^2 + 5x + 2 = 0$.

Дискриминант: $D = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 - 24 = 1$.

Корни: $x_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{-5 \pm 1}{6}$.

$x_1 = \frac{-5 - 1}{6} = -1$, $x_2 = \frac{-5 + 1}{6} = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3}$.

Парабола пересекает ось абсцисс в точках $-1$ и $-\frac{2}{3}$. Функция принимает неположительные значения ($y \le 0$) между корнями, включая сами корни.

Следовательно, решение неравенства: $x \in [-1; -\frac{2}{3}]$.

Ответ: $x \in [-1; -\frac{2}{3}]$.

5) Решим неравенство $5x^2 - 3x + 1 \ge 0$.

Рассмотрим функцию $y = 5x^2 - 3x + 1$. Ветви параболы направлены вверх ($a=5>0$).

Найдем нули функции, решив уравнение $5x^2 - 3x + 1 = 0$.

Дискриминант: $D = (-3)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 1 = 9 - 20 = -11$.

Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что парабола не пересекает ось абсцисс.

Поскольку ветви параболы направлены вверх, вся парабола расположена выше оси абсцисс. Таким образом, значения функции $y = 5x^2 - 3x + 1$ всегда положительны при любом значении $x$.

Неравенство $5x^2 - 3x + 1 \ge 0$ выполняется для всех действительных чисел.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

6) Решим неравенство $-3x^2 + 6x - 4 > 0$.

Рассмотрим функцию $y = -3x^2 + 6x - 4$. Ветви параболы направлены вниз ($a=-3<0$).

Найдем нули функции: $-3x^2 + 6x - 4 = 0$.

Дискриминант: $D = 6^2 - 4 \cdot (-3) \cdot (-4) = 36 - 48 = -12$.

Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней, и парабола не пересекает ось абсцисс.

Поскольку ветви параболы направлены вниз, вся парабола расположена ниже оси абсцисс. Это означает, что значения функции $y = -3x^2 + 6x - 4$ всегда отрицательны при любом значении $x$.

Неравенство $-3x^2 + 6x - 4 > 0$ требует, чтобы выражение было положительным, что невозможно.

Следовательно, неравенство не имеет решений.

Ответ: решений нет (или $x \in \emptyset$).

7) Решим неравенство $\frac{1}{3}x^2 - 2x + 3 \le 0$.

Умножим обе части неравенства на $3$, чтобы избавиться от дроби:

$x^2 - 6x + 9 \le 0$.

Левая часть является полным квадратом: $(x-3)^2 \le 0$.

Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным, то есть $(x-3)^2 \ge 0$ для всех $x$.

Единственная возможность для выполнения неравенства $(x-3)^2 \le 0$ — это когда $(x-3)^2 = 0$.

Это происходит при $x-3=0$, то есть $x=3$.

Ответ: $x = 3$.

8) Решим неравенство $-x^2 + \frac{1}{3}x - \frac{1}{36} > 0$.

Умножим обе части неравенства на $-36$, изменив знак неравенства:

$36x^2 - 12x + 1 < 0$.

Левая часть является полным квадратом: $(6x-1)^2 < 0$.

Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Выражение $(6x-1)^2$ всегда больше или равно нулю.

Следовательно, неравенство $(6x-1)^2 < 0$ не имеет решений.

Ответ: решений нет (или $x \in \emptyset$).

9) Решим неравенство $2x^2 - 2x + 0,5 < 0$.

Представим $0,5$ как $\frac{1}{2}$: $2x^2 - 2x + \frac{1}{2} < 0$.

Умножим обе части неравенства на $2$:

$4x^2 - 4x + 1 < 0$.

Левая часть является полным квадратом: $(2x-1)^2 < 0$.

Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Выражение $(2x-1)^2$ всегда неотрицательно.

Следовательно, неравенство $(2x-1)^2 < 0$ не имеет решений.

Ответ: решений нет (или $x \in \emptyset$).