Вопросы?, страница 84 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 8. Решение квадратных неравенств - страница 84.

Условие.

1. Какие неравенства называют квадратными?

2. Какие возможны случаи расположения параболы $y = ax^2 + bx + c$ относительно оси абсцисс в зависимости от знаков $a$ и $D$, где $D$ – дискриминант квадратного трёхчлена $ax^2 + bx + c$? Изобразите схематически эти случаи.

Решение.

1. Какие неравенства называют квадратными?

Квадратными неравенствами (или неравенствами второй степени) называют неравенства вида $ax^2 + bx + c > 0$, $ax^2 + bx + c < 0$, $ax^2 + bx + c \ge 0$ или $ax^2 + bx + c \le 0$, где $x$ — переменная, $a$, $b$ и $c$ — некоторые действительные числа, причём коэффициент $a$ не равен нулю ($a \ne 0$).

Ответ: Неравенства, в которых левая часть является квадратным трёхчленом $ax^2 + bx + c$ (где $a \ne 0$), а правая — нулём.

2. Какие возможны случаи расположения параболы $y = ax^2 + bx + c$ относительно оси абсцисс в зависимости от знаков $a$ и $D$, где $D$ — дискриминант квадратного трёхчлена $ax^2 + bx + c$? Изобразите схематически эти случаи.

Расположение параболы $y = ax^2 + bx + c$ относительно оси абсцисс (оси $Ox$) полностью определяется двумя параметрами: знаком старшего коэффициента $a$ и знаком дискриминанта $D = b^2 - 4ac$.

• Знак коэффициента $a$ определяет направление ветвей параболы: если $a > 0$, ветви направлены вверх; если $a < 0$, ветви направлены вниз.
• Знак дискриминанта $D$ определяет количество точек пересечения параболы с осью абсцисс (количество действительных корней квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$): если $D > 0$, парабола пересекает ось в двух точках; если $D = 0$, парабола касается оси в одной точке (в своей вершине); если $D < 0$, парабола не имеет общих точек с осью.

Сочетание этих условий даёт шесть возможных случаев расположения параболы.

Случаи для $a > 0$ (ветви параболы направлены вверх)

$D > 0$

Парабола пересекает ось $Ox$ в двух точках ($x_1$ и $x_2$).

$D = 0$

Парабола касается оси $Ox$ в одной точке ($x_0$).

$D < 0$

Парабола полностью лежит выше оси $Ox$.

Случаи для $a < 0$ (ветви параболы направлены вниз)

$D > 0$

Парабола пересекает ось $Ox$ в двух точках ($x_1$ и $x_2$).

$D = 0$

Парабола касается оси $Ox$ в одной точке ($x_0$).

$D < 0$

Парабола полностью лежит ниже оси $Ox$.

Ответ: Существует шесть возможных случаев расположения параболы относительно оси абсцисс, которые определяются комбинацией знаков коэффициента $a$ (направление ветвей) и дискриминанта $D$ (наличие и количество точек пересечения с осью $Ox$), как схематически изображено выше.