Номер 7.69, страница 79 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 7. Квадратичная функция, её график и свойства - номер 7.69, страница 79.

Условие.

7.69. Решите неравенство $|x^2 - 9|(x + 2) < 0$.

Решение.

Дано неравенство: $|x^2 - 9|(x + 2) < 0$.

Произведение двух множителей отрицательно, если они имеют разные знаки.

Рассмотрим первый множитель, $|x^2 - 9|$. По определению модуля, значение этого выражения всегда неотрицательно, то есть $|x^2 - 9| \ge 0$ для любых $x$.

Поскольку первый множитель $|x^2 - 9|$ не может быть отрицательным, для того чтобы всё произведение было строго отрицательным, необходимо, чтобы этот множитель был строго положительным, а второй множитель $(x+2)$ — строго отрицательным.

Таким образом, исходное неравенство равносильно системе:

$$\begin{cases} |x^2 - 9| > 0 \\ x + 2 < 0\end{cases}$$

Решим каждое неравенство этой системы по отдельности.

1) Решим неравенство $|x^2 - 9| > 0$.
Модуль любого выражения положителен, если само выражение не равно нулю.
$x^2 - 9 \ne 0$
$x^2 \ne 9$
Это означает, что $x \ne 3$ и $x \ne -3$.

2) Решим неравенство $x + 2 < 0$.
$x < -2$.

Теперь необходимо найти пересечение решений, то есть найти все значения $x$, которые удовлетворяют всем условиям одновременно: $x < -2$, $x \ne 3$ и $x \ne -3$.

Из условия $x < -2$ следует, что $x$ не может быть равен $3$, так как $3$ больше $-2$. Таким образом, условие $x \ne 3$ выполняется автоматически.
Остается учесть условия $x < -2$ и $x \ne -3$.
Решением является множество всех чисел, которые меньше $-2$, за исключением числа $-3$.
На числовой оси это соответствует интервалу $(-\infty, -2)$ с "выколотой" точкой $-3$.

Запишем это решение в виде объединения интервалов: $(-\infty, -3) \cup (-3, -2)$.

Ответ: $(-\infty, -3) \cup (-3, -2)$.