Номер 7.67, страница 79 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 7. Квадратичная функция, её график и свойства - номер 7.67, страница 79.

Условие.

7.67. Рассматриваются все параболы вида $y = x^2 + px + q$, $q < 0$, которые пересекают оси координат в трёх точках. Для каждой параболы через указанные три точки проводят окружность. Докажите, что все эти окружности имеют общую точку.

Решение.

Рассмотрим параболу вида $y = x^2 + px + q$, где $q < 0$. Найдем точки ее пересечения с осями координат.

1. Пересечение с осью ординат (осью $Oy$). При $x = 0$ получаем $y = q$. Таким образом, одна из точек — это $A(0, q)$.

2. Пересечение с осью абсцисс (осью $Ox$). При $y = 0$ получаем квадратное уравнение $x^2 + px + q = 0$. Дискриминант этого уравнения $D = p^2 - 4q$. Поскольку по условию $q < 0$, то $-4q > 0$. Следовательно, $D = p^2 - 4q > p^2 \geq 0$. Это означает, что уравнение всегда имеет два различных действительных корня, которые мы обозначим $x_1$ и $x_2$. Таким образом, парабола пересекает ось $Ox$ в двух точках: $B(x_1, 0)$ и $C(x_2, 0)$.

Так как $q \neq 0$, то $x_1, x_2 \neq 0$, и точка $A$ не совпадает с точками $B$ и $C$. Таким образом, мы всегда имеем три различные точки пересечения.

По условию, через эти три точки $A(0, q)$, $B(x_1, 0)$ и $C(x_2, 0)$ проводится окружность. Найдем уравнение этой окружности. Общее уравнение окружности имеет вид $x^2 + y^2 + Gx + Hy + F = 0$. Подставим координаты наших трех точек в это уравнение, чтобы найти коэффициенты $G$, $H$, и $F$.

Для точки $A(0, q)$: $0^2 + q^2 + G \cdot 0 + H \cdot q + F = 0 \implies q^2 + Hq + F = 0$. (1)

Для точки $B(x_1, 0)$: $x_1^2 + 0^2 + G \cdot x_1 + H \cdot 0 + F = 0 \implies x_1^2 + Gx_1 + F = 0$. (2)

Для точки $C(x_2, 0)$: $x_2^2 + 0^2 + G \cdot x_2 + H \cdot 0 + F = 0 \implies x_2^2 + Gx_2 + F = 0$. (3)

Вычтем уравнение (3) из уравнения (2): $(x_1^2 - x_2^2) + G(x_1 - x_2) = 0$ $(x_1 - x_2)(x_1 + x_2) + G(x_1 - x_2) = 0$

Поскольку точки $B$ и $C$ различны, $x_1 \neq x_2$, и мы можем разделить обе части на $(x_1 - x_2)$: $(x_1 + x_2) + G = 0$

Согласно теореме Виета для уравнения $x^2 + px + q = 0$, сумма корней $x_1 + x_2 = -p$. Подставив это в наше выражение, получаем: $-p + G = 0 \implies G = p$.

Теперь подставим $G = p$ в уравнение (2): $x_1^2 + px_1 + F = 0$. Мы знаем, что $x_1$ является корнем уравнения $x^2 + px + q = 0$, поэтому для него справедливо равенство $x_1^2 + px_1 + q = 0$. Сравнивая эти два выражения, мы заключаем, что $F = q$.

Наконец, подставим $F = q$ в уравнение (1): $q^2 + Hq + q = 0$ $q(q + H + 1) = 0$

Поскольку по условию $q < 0$, мы можем разделить на $q$: $q + H + 1 = 0 \implies H = -q - 1$.

Таким образом, уравнение окружности, проходящей через три точки пересечения, имеет вид: $x^2 + y^2 + px - (q + 1)y + q = 0$.

Нам нужно доказать, что все такие окружности (для любых $p$ и $q<0$) имеют общую точку. Найдем эту точку. Перегруппируем члены в уравнении окружности, выделив параметры $p$ и $q$: $(x^2 + y^2 - y) + p \cdot x + q(1 - y) = 0$.

Это равенство должно выполняться для всех допустимых значений $p$ и $q$. Это возможно только в том случае, если выражения, умноженные на $p$ и $q$, а также оставшаяся часть уравнения, одновременно равны нулю. Это приводит к системе уравнений: $$ \begin{cases} x = 0 \\ 1 - y = 0 \\ x^2 + y^2 - y = 0 \end{cases} $$

Из первых двух уравнений сразу получаем решение: $x = 0$ и $y = 1$. Проверим, удовлетворяет ли эта точка третьему уравнению: $0^2 + 1^2 - 1 = 1 - 1 = 0$. Да, удовлетворяет.

Это означает, что точка с координатами $(0, 1)$ лежит на каждой окружности из данного семейства, независимо от значений параметров $p$ и $q$. Следовательно, все эти окружности имеют общую точку.

Ответ: Все окружности, построенные по условию задачи, проходят через одну и ту же точку с координатами $(0, 1)$.