Номер 7.70, страница 79 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 7. Квадратичная функция, её график и свойства - номер 7.70, страница 79.

Условие.

7.70. Решите уравнение $\sqrt{x^2 - 3x + 2} + \sqrt{x^2 + x - 2} = 0.$

Решение.

Данное уравнение имеет вид $\sqrt{A} + \sqrt{B} = 0$.

По определению арифметического квадратного корня, его значение всегда неотрицательно. То есть, $\sqrt{x^2 - 3x + 2} \ge 0$ и $\sqrt{x^2 + x - 2} \ge 0$.

Сумма двух неотрицательных выражений равна нулю только в том случае, если каждое из этих выражений равно нулю. Поэтому исходное уравнение равносильно системе уравнений:

$$ \begin{cases} \sqrt{x^2 - 3x + 2} = 0 \\ \sqrt{x^2 + x - 2} = 0 \end{cases}$$

Возведем в квадрат обе части каждого уравнения системы:

$$ \begin{cases} x^2 - 3x + 2 = 0 \\ x^2 + x - 2 = 0 \end{cases}$$

Решим первое уравнение: $x^2 - 3x + 2 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней равна 3, а их произведение равно 2. Следовательно, корни уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$.

Решим второе уравнение: $x^2 + x - 2 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней равна -1, а их произведение равно -2. Следовательно, корни уравнения: $x_3 = 1$ и $x_4 = -2$.

Решением системы является значение $x$, которое удовлетворяет обоим уравнениям. Сравнивая множества корней первого $\{1, 2\}$ и второго $\{1, -2\}$ уравнений, находим общий корень.

Общим решением для обоих уравнений является $x=1$.

Проверим найденный корень, подставив его в исходное уравнение:

$\sqrt{1^2 - 3 \cdot 1 + 2} + \sqrt{1^2 + 1 - 2} = \sqrt{1 - 3 + 2} + \sqrt{1 + 1 - 2} = \sqrt{0} + \sqrt{0} = 0$.

$0=0$. Равенство верно.

Ответ: $1$.