Номер 7.66, страница 79 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 7. Квадратичная функция, её график и свойства - номер 7.66, страница 79.

Условие.

7.66. Рассматриваются все параболы вида $y = x^2 + px + q, q > 0$, которые пересекают оси координат в трёх точках. Для каждой параболы че-рез указанные три точки проводят окружность. Докажите, что все эти окружности имеют общую точку.

Решение.

Парабола задана уравнением $y = x^2 + px + q$, где по условию $q > 0$. Найдем точки ее пересечения с осями координат.

1. Пересечение с осью ординат ($Oy$). При $x=0$, получаем $y = 0^2 + p \cdot 0 + q = q$. Это точка $A(0; q)$.

2. Пересечение с осью абсцисс ($Ox$). При $y=0$, получаем квадратное уравнение $x^2 + px + q = 0$. По условию, парабола пересекает оси в трех различных точках, следовательно, это уравнение должно иметь два различных корня. Это означает, что дискриминант $D = p^2 - 4q$ должен быть строго положителен: $p^2 - 4q > 0$. Обозначим корни уравнения как $x_1$ и $x_2$. Точки пересечения с осью $Ox$ — это $B(x_1; 0)$ и $C(x_2; 0)$. По теореме Виета для этих корней выполняются соотношения: $x_1 + x_2 = -p$ и $x_1 x_2 = q$.

Таким образом, для каждой параболы мы имеем три точки: $A(0; q)$, $B(x_1; 0)$ и $C(x_2; 0)$, через которые проводится окружность.

Запишем общее уравнение окружности: $x^2 + y^2 + Gx + Hy + K = 0$. Подставим в него координаты наших трех точек, чтобы найти коэффициенты $G$, $H$ и $K$.

• Для точки $A(0; q)$: $0^2 + q^2 + G \cdot 0 + H \cdot q + K = 0 \implies q^2 + Hq + K = 0$ (1)
• Для точки $B(x_1; 0)$: $x_1^2 + 0^2 + G \cdot x_1 + H \cdot 0 + K = 0 \implies x_1^2 + Gx_1 + K = 0$ (2)
• Для точки $C(x_2; 0)$: $x_2^2 + 0^2 + G \cdot x_2 + H \cdot 0 + K = 0 \implies x_2^2 + Gx_2 + K = 0$ (3)

Вычтем уравнение (3) из уравнения (2):
$(x_1^2 - x_2^2) + G(x_1 - x_2) = 0$
$(x_1 - x_2)(x_1 + x_2) + G(x_1 - x_2) = 0$
Поскольку точки $B$ и $C$ различны, $x_1 \neq x_2$, и мы можем разделить обе части на $(x_1 - x_2)$:$(x_1 + x_2) + G = 0$.
Используя теорему Виета ($x_1 + x_2 = -p$), получаем $-p + G = 0$, откуда $G = p$.

Подставим $G = p$ в уравнение (2): $x_1^2 + px_1 + K = 0$.
Так как $x_1$ является корнем уравнения $x^2 + px + q = 0$, то $x_1^2 + px_1 + q = 0$.
Сравнивая два последних равенства, заключаем, что $K = q$.

Теперь подставим $K = q$ в уравнение (1): $q^2 + Hq + q = 0$.
По условию $q > 0$, поэтому мы можем разделить обе части на $q$:
$q + H + 1 = 0$, откуда $H = -q - 1$.

Таким образом, уравнение окружности, проходящей через три указанные точки, имеет вид:
$x^2 + y^2 + px - (q+1)y + q = 0$.

Это уравнение описывает семейство окружностей, зависящее от параметров $p$ и $q$. Чтобы доказать, что все эти окружности имеют общую точку, нужно найти такую точку $(x_0; y_0)$, координаты которой удовлетворяют этому уравнению при любых значениях $p$ и $q$ (удовлетворяющих условию $p^2 - 4q > 0$).

Перегруппируем слагаемые в уравнении окружности:
$(x^2 + y^2 - y) + p \cdot x + q \cdot (1 - y) = 0$.

Чтобы это равенство выполнялось для всех допустимых $p$ и $q$, необходимо, чтобы выражения, не зависящие от $p$ и $q$, а также коэффициенты при $p$ и $q$, одновременно обращались в ноль. Это приводит к системе уравнений:

$$\begin{cases}x = 0 \\1 - y = 0 \\x^2 + y^2 - y = 0\end{cases}$$

Из первого уравнения получаем $x=0$. Из второго уравнения получаем $y=1$.
Подставим эти значения в третье уравнение, чтобы проверить, выполняется ли оно:
$0^2 + 1^2 - 1 = 1 - 1 = 0$.
Равенство верное. Следовательно, точка с координатами $(0; 1)$ принадлежит каждой окружности из рассматриваемого семейства, независимо от выбора параметров $p$ и $q$. Таким образом, доказано, что все эти окружности имеют общую точку.

Ответ: Доказано, что все окружности имеют общую точку с координатами $(0; 1)$.