Номер 7.60, страница 79 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 7. Квадратичная функция, её график и свойства - номер 7.60, страница 79.

Условие.

7.60. При каких значениях параметра $a$ наименьшее значение функции

$y=x^2-4x+3+|x-a|$ на $\mathbf{R}$ меньше чем 2?

Решение.

Требуется найти все значения параметра $a$, при которых наименьшее значение функции $y = x^2 - 4x + 3 + |x - a|$ на множестве действительных чисел $\mathbb{R}$ меньше чем 2.

Запишем условие задачи в виде неравенства: $ \min_{x \in \mathbb{R}} (x^2 - 4x + 3 + |x - a|) < 2 $

Функция $y(x)$ является непрерывной на всей числовой прямой и $y(x) \to +\infty$ при $x \to \pm\infty$. Следовательно, она достигает своего наименьшего значения. Так как $y(x)$ является суммой двух выпуклых функций ($f(x) = x^2 - 4x + 3$ и $g(x) = |x - a|$), она также является выпуклой. Наименьшее значение выпуклой функции достигается в точке, где ее производная равна нулю или не существует.

Найдем производную функции $y(x)$ при $x \ne a$: $y'(x) = (x^2 - 4x + 3)' + (|x - a|)' = 2x - 4 + \text{sgn}(x - a)$ где $\text{sgn}(z)$ — функция знака. В точке $x = a$ производная не существует.

Рассмотрим три случая в зависимости от того, где находятся точки, в которых производная может обращаться в ноль.

1. Случай $x > a$

В этом случае $\text{sgn}(x - a) = 1$, и производная равна $y'(x) = 2x - 4 + 1 = 2x - 3$. Приравняем производную к нулю: $2x - 3 = 0$, откуда $x = 3/2$. Эта точка является точкой минимума, если выполняется условие $x > a$, то есть $3/2 > a$. Итак, если $a < 3/2$, наименьшее значение функции достигается в точке $x = 3/2$. Найдем это значение: $y_{min} = y(3/2) = (3/2)^2 - 4(3/2) + 3 + |3/2 - a|$. Поскольку $a < 3/2$, то $|3/2 - a| = 3/2 - a$. $y_{min} = 9/4 - 6 + 3 + 3/2 - a = 9/4 - 3 + 6/4 - a = 15/4 - 12/4 - a = 3/4 - a$. Согласно условию задачи, это значение должно быть меньше 2: $3/4 - a < 2$ $-a < 2 - 3/4$ $-a < 5/4$ $a > -5/4$. Объединяя с условием $a < 3/2$, получаем: $-5/4 < a < 3/2$.

2. Случай $x < a$

В этом случае $\text{sgn}(x - a) = -1$, и производная равна $y'(x) = 2x - 4 - 1 = 2x - 5$. Приравняем производную к нулю: $2x - 5 = 0$, откуда $x = 5/2$. Эта точка является точкой минимума, если выполняется условие $x < a$, то есть $5/2 < a$. Итак, если $a > 5/2$, наименьшее значение функции достигается в точке $x = 5/2$. Найдем это значение: $y_{min} = y(5/2) = (5/2)^2 - 4(5/2) + 3 + |5/2 - a|$. Поскольку $a > 5/2$, то $|5/2 - a| = -(5/2 - a) = a - 5/2$. $y_{min} = 25/4 - 10 + 3 + a - 5/2 = 25/4 - 7 + a - 10/4 = 15/4 - 28/4 + a = a - 13/4$. Согласно условию задачи, это значение должно быть меньше 2: $a - 13/4 < 2$ $a < 2 + 13/4$ $a < 8/4 + 13/4$ $a < 21/4$. Объединяя с условием $a > 5/2$, получаем: $5/2 < a < 21/4$.

3. Случай $3/2 \le a \le 5/2$

В этом случае ни одна из найденных точек ($x=3/2$ и $x=5/2$) не удовлетворяет условиям $x > a$ или $x < a$ соответственно. При $x > a$, имеем $x > 3/2$, поэтому $y'(x) = 2x - 3 > 0$, то есть функция возрастает. При $x < a$, имеем $x < 5/2$, поэтому $y'(x) = 2x - 5 < 0$, то есть функция убывает. Следовательно, наименьшее значение функции достигается в точке "излома" $x = a$. Найдем это значение: $y_{min} = y(a) = a^2 - 4a + 3 + |a - a| = a^2 - 4a + 3$. Это значение должно быть меньше 2: $a^2 - 4a + 3 < 2$ $a^2 - 4a + 1 < 0$. Найдем корни уравнения $a^2 - 4a + 1 = 0$: $a = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$. Неравенство $a^2 - 4a + 1 < 0$ выполняется для $a \in (2 - \sqrt{3}; 2 + \sqrt{3})$. Теперь найдем пересечение этого интервала с условием $a \in [3/2; 5/2]$. Приближенные значения: $2 - \sqrt{3} \approx 0.27$, $2 + \sqrt{3} \approx 3.73$, $3/2 = 1.5$, $5/2 = 2.5$. Пересечением интервалов $(0.27; 3.73)$ и $[1.5; 2.5]$ является интервал $[1.5; 2.5]$, то есть $[3/2; 5/2]$. Итак, для всех $a$ из отрезка $[3/2; 5/2]$ условие выполняется.

Объединим результаты, полученные во всех трех случаях:

• $-5/4 < a < 3/2$
• $3/2 \le a \le 5/2$
• $5/2 < a < 21/4$

Объединение этих трех множеств дает интервал $a \in (-5/4; 21/4)$.

Ответ: $a \in (-\frac{5}{4}; \frac{21}{4})$.