Номер 7.57, страница 79 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 7. Квадратичная функция, её график и свойства - номер 7.57, страница 79.

Условие.

7.57. Дана функция $f(t) = -t^2 - 2t$. Постройте график функции $g$, если $g(x) = \max\limits_{[x; x+1]} f(t)$.

Решение.

Для того чтобы построить график функции $g(x) = \max_{[x; x+1]} f(t)$, где $f(t) = -t^2 - 2t$, необходимо сначала проанализировать функцию $f(t)$.

1. Анализ функции $f(t) = -t^2 - 2t$.

Это квадратичная функция, график которой — парабола. Коэффициент при $t^2$ равен -1, что означает, что ветви параболы направлены вниз. Максимальное значение функция достигает в своей вершине.

Найдем координаты вершины параболы. Абсцисса вершины $t_v$ вычисляется по формуле $t_v = -b / (2a)$. В нашем случае $a = -1$ и $b = -2$.
$t_v = -(-2) / (2 \cdot (-1)) = 2 / (-2) = -1$.

Ордината вершины (максимальное значение функции) равна:
$f(-1) = -(-1)^2 - 2(-1) = -1 + 2 = 1$.

Таким образом, вершина параболы находится в точке $(-1, 1)$. Функция $f(t)$ возрастает на промежутке $(-\infty; -1]$ и убывает на промежутке $[-1; +\infty)$.

2. Нахождение вида функции $g(x)$.

Функция $g(x)$ — это максимальное значение $f(t)$ на отрезке $[x; x+1]$. Положение этого отрезка относительно вершины $t_v = -1$ определяет, в какой точке отрезка будет достигаться максимум.

• Случай 1: Отрезок $[x; x+1]$ находится на участке возрастания функции $f(t)$.
  Это происходит, когда правая граница отрезка меньше или равна абсциссе вершины: $x+1 \le -1$, то есть $x \le -2$.
  На возрастающем участке функции максимум достигается на правом конце отрезка. Следовательно, $g(x) = f(x+1)$.
  $g(x) = -(x+1)^2 - 2(x+1) = -(x^2 + 2x + 1) - 2x - 2 = -x^2 - 4x - 3$.
• Случай 2: Вершина $t_v = -1$ находится внутри отрезка $[x; x+1]$.
  Это происходит, когда $x \le -1 \le x+1$, что равносильно $-2 \le x \le -1$.
  В этом случае максимальное значение на отрезке совпадает с максимальным значением самой функции, то есть со значением в вершине. Следовательно, $g(x) = f(-1) = 1$.
• Случай 3: Отрезок $[x; x+1]$ находится на участке убывания функции $f(t)$.
  Это происходит, когда левая граница отрезка больше или равна абсциссе вершины: $x \ge -1$.
  На убывающем участке функции максимум достигается на левом конце отрезка. Следовательно, $g(x) = f(x)$.
  $g(x) = -x^2 - 2x$.

Итак, мы получили кусочно-заданную функцию $g(x)$:

$g(x) = \begin{cases} -x^2 - 4x - 3, & \text{если } x \le -2 \\ 1, & \text{если } -2 < x < -1 \\ -x^2 - 2x, & \text{если } x \ge -1 \end{cases}$

3. Построение графика функции $g(x)$.

График функции $g(x)$ состоит из трех частей:

• На промежутке $(-\infty; -2]$ график $g(x)$ совпадает с графиком параболы $y = -x^2 - 4x - 3$. Вершина этой параболы находится в точке $(-2, 1)$.
• На промежутке $(-2; -1)$ график $g(x)$ представляет собой горизонтальную линию $y=1$.
• На промежутке $[-1; +\infty)$ график $g(x)$ совпадает с графиком параболы $y = -x^2 - 2x$. Вершина этой параболы находится в точке $(-1, 1)$.

График функции $g(x)$ является непрерывной линией, состоящей из левой ветви параболы $y = -x^2 - 4x - 3$ до точки $(-2, 1)$, горизонтального отрезка, соединяющего точки $(-2, 1)$ и $(-1, 1)$, и правой ветви параболы $y = -x^2 - 2x$ от точки $(-1, 1)$ и далее.

Ответ: График функции $g(x)$ представляет собой композицию трех участков:
1. При $x \le -2$ это часть параболы $y = -x^2 - 4x - 3$ (вершина в точке $(-2, 1)$).
2. При $-2 < x < -1$ это отрезок горизонтальной прямой $y=1$.
3. При $x \ge -1$ это часть параболы $y = -x^2 - 2x$ (вершина в точке $(-1, 1)$).