Номер 7.51, страница 78 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 7. Квадратичная функция, её график и свойства - номер 7.51, страница 78.

Условие.

7.51. Могут ли графики квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$ и линейной функции $y = cx + a$ быть расположены так, как показано на рисунке 7.14?

Рис. 7.14

Решение.

Да, такое расположение графиков возможно.

Проанализируем свойства функций, исходя из их графиков, и проверим, не противоречат ли эти свойства друг другу.

1. Анализ графика квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$ (парабола).

• Ветви параболы направлены вверх. Это означает, что старший коэффициент $a$ должен быть положительным: $a > 0$.
• Парабола пересекает ось ординат (ось $y$) при $x = 0$. Точка пересечения имеет ординату $y(0) = c$. Из графика видно, что эта точка находится выше оси абсцисс, следовательно, $c > 0$.
• Абсцисса вершины параболы определяется по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$. Из графика видно, что вершина находится в левой полуплоскости, то есть $x_0 < 0$. Таким образом, $-\frac{b}{2a} < 0$. Поскольку мы уже установили, что $a > 0$, из этого неравенства следует, что $b$ также должен быть положительным: $b > 0$.

Итак, из анализа параболы мы получили, что $a > 0$, $b > 0$ и $c > 0$.

2. Анализ графика линейной функции $y = cx + a$ (прямая).

• Прямая является возрастающей, значит, её угловой коэффициент $c$ положителен: $c > 0$. Это не противоречит выводу, сделанному ранее.
• Прямая пересекает ось ординат при $x=0$. Точка пересечения имеет ординату $y(0) = a$. Из графика видно, что эта точка находится выше оси абсцисс, следовательно, $a > 0$. Это также не противоречит предыдущим выводам.

3. Сравнение расположения графиков.

• Оба графика пересекают ось $y$ в положительной части. Точка пересечения параболы с осью $y$ — это $(0, c)$, а точка пересечения прямой — $(0, a)$.
• На рисунке видно, что прямая пересекает ось $y$ выше, чем парабола. Это означает, что ордината точки пересечения прямой больше, чем у параболы, то есть $a > c$.

4. Проверка на наличие точек пересечения.

Графики пересекаются, если уравнение $ax^2 + bx + c = cx + a$ имеет решения. Преобразуем его к стандартному виду:

$ax^2 + (b-c)x + (c-a) = 0$

Наличие двух точек пересечения означает, что дискриминант $D$ этого квадратного уравнения должен быть строго положительным.

$D = (b-c)^2 - 4a(c-a)$

Из наших выводов мы имеем: $a > 0$ и $a > c$. Из последнего следует, что разность $c - a$ отрицательна: $c - a < 0$.

Рассмотрим второе слагаемое в выражении для дискриминанта: $-4a(c-a)$. Так как $a > 0$ и $c-a < 0$, то их произведение $a(c-a)$ отрицательно. Умножив его на $-4$, получим положительное число: $-4a(c-a) > 0$.

Первое слагаемое $(b-c)^2$ как квадрат любого числа всегда неотрицательно: $(b-c)^2 \ge 0$.

Таким образом, дискриминант $D$ является суммой неотрицательного и положительного слагаемых, а значит, он всегда будет строго положителен: $D > 0$. Это гарантирует наличие двух различных точек пересечения графиков.

Все полученные условия ($a > 0$, $b > 0$, $c > 0$ и $a > c$) не противоречат друг другу. Например, им удовлетворяют числа $a=3$, $b=2$, $c=1$. Для этих значений функции $y = 3x^2 + 2x + 1$ и $y = x + 3$ будут расположены так, как показано на рисунке.

Ответ: Да, могут.