Номер 7.49, страница 78 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 7. Квадратичная функция, её график и свойства - номер 7.49, страница 78.

Условие.

7.49. О квадратичной функции $f$ известно, что существует ровно три значения аргумента, при которых модуль значения функции равен 2.

Сколько корней имеет уравнение $f(x) = 1,1$?

Решение.

По условию, $f(x)$ — квадратичная функция, её график — парабола. Условие о существовании ровно трех значений аргумента, при которых модуль значения функции равен 2, записывается уравнением $|f(x)| = 2$.

Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений: $f(x) = 2$ и $f(x) = -2$.

Суммарное число различных корней этих двух уравнений равно трем.

Уравнение вида $f(x) = k$, где $f(x)$ — квадратичная функция, может иметь 0, 1 или 2 действительных корня. Графически это соответствует количеству точек пересечения параболы $y = f(x)$ и горизонтальной прямой $y = k$. Один корень возможен только в том случае, когда прямая касается вершины параболы.

Чтобы общее число корней было равно трем, одно из уравнений ($f(x) = 2$ или $f(x) = -2$) должно иметь один корень, а другое — два корня. Это означает, что одна из прямых, $y=2$ или $y=-2$, касается вершины параболы. Следовательно, ордината вершины параболы ($y_v$) равна либо 2, либо -2.

Рассмотрим два возможных случая:

Случай 1: Ордината вершины параболы $y_v = 2$.

В этом случае уравнение $f(x) = 2$ имеет один корень. Чтобы уравнение $f(x) = -2$ имело два корня, значение -2 должно лежать в диапазоне значений функции. Поскольку $-2 < 2$, это возможно только если 2 является максимальным значением функции, то есть ветви параболы направлены вниз.

Случай 2: Ордината вершины параболы $y_v = -2$.

В этом случае уравнение $f(x) = -2$ имеет один корень. Чтобы уравнение $f(x) = 2$ имело два корня, значение 2 должно лежать в диапазоне значений функции. Поскольку $2 > -2$, это возможно только если -2 является минимальным значением функции, то есть ветви параболы направлены вверх.

Теперь ответим на вопрос задачи: сколько корней имеет уравнение $f(x) = 1.1$?

В первом случае (ветви вниз, максимум в $y=2$), число $1.1$ меньше максимального значения ($1.1 < 2$). Следовательно, прямая $y=1.1$ пересечет параболу в двух точках. Уравнение имеет два корня.

Во втором случае (ветви вверх, минимум в $y=-2$), число $1.1$ больше минимального значения ($1.1 > -2$). Следовательно, прямая $y=1.1$ также пересечет параболу в двух точках. Уравнение имеет два корня.

Таким образом, в обоих возможных сценариях, удовлетворяющих условию задачи, уравнение $f(x) = 1.1$ имеет два корня.

Ответ: 2.