Номер 7.43, страница 77 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 7. Квадратичная функция, её график и свойства - номер 7.43, страница 77.

Условие.

7.43. Постройте график функции:

1) $y = \frac{x^3 - 8}{x - 2} - 3;$

2) $y = \frac{x^4 - 16}{x^2 - 4};$

3) $y = \frac{x^4 + 4x^2 - 5}{x^2 - 1}.$

Решение.

1) $y = \frac{x^3 - 8}{x - 2} - 3$

Сначала найдем область определения функции. Знаменатель дроби не должен равняться нулю, поэтому $x - 2 \neq 0$, откуда $x \neq 2$. Область определения: $D(y) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

Упростим выражение для функции, используя формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$. В числителе имеем $x^3 - 8 = x^3 - 2^3 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)$.

При $x \neq 2$ функция принимает вид:

$y = \frac{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)}{x - 2} - 3 = (x^2 + 2x + 4) - 3 = x^2 + 2x + 1$.

Полученное выражение является полным квадратом: $y = (x + 1)^2$.

Таким образом, график исходной функции совпадает с графиком параболы $y = (x + 1)^2$ во всех точках, кроме точки, где $x = 2$. Это парабола, ветви которой направлены вверх, с вершиной в точке $(-1, 0)$.

Найдем координаты "выколотой" точки. Для этого подставим $x = 2$ в упрощенное уравнение параболы:

$y = (2 + 1)^2 = 3^2 = 9$.

Следовательно, точка $(2, 9)$ не принадлежит графику функции. Для построения графика нужно построить параболу $y = (x + 1)^2$ и отметить на ней "выколотую" точку с координатами $(2, 9)$.

Ответ: Графиком функции является парабола $y = (x + 1)^2$ с выколотой точкой $(2, 9)$.

2) $y = \frac{x^4 - 16}{x^2 - 4}$

Найдем область определения функции. Знаменатель не должен быть равен нулю: $x^2 - 4 \neq 0$, то есть $(x - 2)(x + 2) \neq 0$. Отсюда $x \neq 2$ и $x \neq -2$. Область определения: $D(y) = (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty)$.

Упростим выражение, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$. Числитель $x^4 - 16 = (x^2)^2 - 4^2 = (x^2 - 4)(x^2 + 4)$.

При $x \neq \pm 2$ функция принимает вид:

$y = \frac{(x^2 - 4)(x^2 + 4)}{x^2 - 4} = x^2 + 4$.

График исходной функции совпадает с графиком параболы $y = x^2 + 4$ за исключением точек, где $x = 2$ и $x = -2$. Это парабола, ветви которой направлены вверх, с вершиной в точке $(0, 4)$.

Найдем координаты "выколотых" точек:

При $x = 2$: $y = 2^2 + 4 = 4 + 4 = 8$. Координаты первой выколотой точки $(2, 8)$.

При $x = -2$: $y = (-2)^2 + 4 = 4 + 4 = 8$. Координаты второй выколотой точки $(-2, 8)$.

Для построения графика нужно построить параболу $y = x^2 + 4$ и отметить на ней выколотые точки $(2, 8)$ и $(-2, 8)$.

Ответ: Графиком функции является парабола $y = x^2 + 4$ с выколотыми точками $(2, 8)$ и $(-2, 8)$.

3) $y = \frac{x^4 + 4x^2 - 5}{x^2 - 1}$

Найдем область определения функции. Знаменатель не должен быть равен нулю: $x^2 - 1 \neq 0$, то есть $(x - 1)(x + 1) \neq 0$. Отсюда $x \neq 1$ и $x \neq -1$. Область определения: $D(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty)$.

Разложим числитель на множители. Это биквадратный трехчлен. Сделаем замену $t = x^2$. Получим квадратный трехчлен $t^2 + 4t - 5$. Найдем его корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = -5$. Тогда разложение будет выглядеть как $(t - 1)(t + 5)$. Возвращаясь к замене, получаем: $(x^2 - 1)(x^2 + 5)$.

Теперь упростим выражение для функции при $x \neq \pm 1$:

$y = \frac{(x^2 - 1)(x^2 + 5)}{x^2 - 1} = x^2 + 5$.

График исходной функции совпадает с графиком параболы $y = x^2 + 5$ за исключением точек, где $x = 1$ и $x = -1$. Это парабола, ветви которой направлены вверх, с вершиной в точке $(0, 5)$.

Найдем координаты "выколотых" точек:

При $x = 1$: $y = 1^2 + 5 = 1 + 5 = 6$. Координаты первой выколотой точки $(1, 6)$.

При $x = -1$: $y = (-1)^2 + 5 = 1 + 5 = 6$. Координаты второй выколотой точки $(-1, 6)$.

Для построения графика нужно построить параболу $y = x^2 + 5$ и отметить на ней выколотые точки $(1, 6)$ и $(-1, 6)$.

Ответ: Графиком функции является парабола $y = x^2 + 5$ с выколотыми точками $(1, 6)$ и $(-1, 6)$.