Номер 7.46, страница 78 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 7. Квадратичная функция, её график и свойства - номер 7.46, страница 78.

Условие.

7.46. Постройте график функции:

1) $y = 6|x| - x^2$;

2) $y = x^2 + 3|x - 1| - 1$;

3) $y = \frac{x^3}{|x|} + 4x.$

Решение.

1) Построим график функции $y = 6|x| - x^2$.

Данная функция является четной, так как $y(-x) = 6|-x| - (-x)^2 = 6|x| - x^2 = y(x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси ординат (оси OY). Поэтому достаточно построить график для $x \ge 0$ и затем симметрично отразить его относительно оси OY.

Рассмотрим случай, когда $x \ge 0$. Тогда $|x| = x$, и функция принимает вид: $y = 6x - x^2$ Это квадратичная функция, графиком которой является парабола, ветви которой направлены вниз (коэффициент при $x^2$ равен -1).

Найдем координаты вершины параболы: $x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot (-1)} = 3$. $y_в = 6(3) - 3^2 = 18 - 9 = 9$. Вершина параболы находится в точке $(3, 9)$.

Найдем точки пересечения параболы с осью OX (нули функции), решив уравнение $6x - x^2 = 0$: $x(6 - x) = 0$ $x_1 = 0$, $x_2 = 6$. Точки пересечения с осью OX: $(0, 0)$ и $(6, 0)$.

Итак, для $x \ge 0$ мы строим часть параболы $y = -x^2 + 6x$ с вершиной в точке $(3, 9)$, проходящую через точки $(0, 0)$ и $(6, 0)$.

Так как функция четная, для $x < 0$ мы отражаем построенную часть графика симметрично относительно оси OY. В результате получим вторую часть графика, которая является дугой параболы $y = -6x - x^2$ с вершиной в точке $(-3, 9)$ и пересечением с осью OX в точках $(-6, 0)$ и $(0, 0)$.

Итоговый график состоит из двух дуг парабол, симметричных относительно оси OY. Он имеет две вершины в точках $(-3, 9)$ и $(3, 9)$ и пересекает ось абсцисс в точках $(-6, 0)$, $(0, 0)$ и $(6, 0)$.

Ответ: График функции представляет собой две дуги парабол, соединенные в точке (0, 0). Первая дуга — часть параболы $y = -x^2 + 6x$ для $x \ge 0$ с вершиной в (3, 9). Вторая дуга — часть параболы $y = -x^2 - 6x$ для $x < 0$ с вершиной в (-3, 9).

2) Построим график функции $y = x^2 + 3|x - 1| - 1$.

Раскроем модуль, рассмотрев два случая в зависимости от знака выражения под модулем, то есть $x - 1$.

Случай 1: $x - 1 \ge 0$, то есть $x \ge 1$. В этом случае $|x - 1| = x - 1$, и функция принимает вид: $y = x^2 + 3(x - 1) - 1 = x^2 + 3x - 3 - 1 = x^2 + 3x - 4$. Это парабола с ветвями вверх. Найдем ее вершину: $x_в = -\frac{3}{2 \cdot 1} = -1.5$. Так как $-1.5 < 1$, вершина не попадает на рассматриваемый промежуток. На промежутке $[1, \infty)$ эта парабола возрастает. Найдем значение функции на границе промежутка, в точке $x = 1$: $y(1) = 1^2 + 3(1) - 4 = 0$. Таким образом, для $x \ge 1$ график функции совпадает с правой ветвью параболы $y = x^2 + 3x - 4$, начиная с точки $(1, 0)$.

Случай 2: $x - 1 < 0$, то есть $x < 1$. В этом случае $|x - 1| = -(x - 1) = 1 - x$, и функция принимает вид: $y = x^2 + 3(1 - x) - 1 = x^2 + 3 - 3x - 1 = x^2 - 3x + 2$. Это парабола с ветвями вверх. Найдем ее вершину: $x_в = -\frac{-3}{2 \cdot 1} = 1.5$. Так как $1.5 > 1$, вершина не попадает на рассматриваемый промежуток. На промежутке $(-\infty, 1)$ эта парабола убывает. Найдем значение функции на границе промежутка, при $x \to 1$: $y(1) = 1^2 - 3(1) + 2 = 0$. Найдем точку пересечения с осью OY, подставив $x = 0$: $y(0) = 0^2 - 3(0) + 2 = 2$. Точка $(0, 2)$. Таким образом, для $x < 1$ график функции совпадает с левой ветвью параболы $y = x^2 - 3x + 2$, которая проходит через точку $(0, 2)$ и заканчивается в точке $(1, 0)$.

Итоговый график состоит из двух частей парабол, которые соединяются в точке $(1, 0)$. Эта точка является точкой минимума функции. Слева от $x=1$ график является частью параболы $y = x^2 - 3x + 2$, а справа от $x=1$ — частью параболы $y = x^2 + 3x - 4$.

Ответ: График функции состоит из двух дуг парабол, соединенных в точке (1, 0). Для $x < 1$ это часть параболы $y = x^2 - 3x + 2$. Для $x \ge 1$ это часть параболы $y = x^2 + 3x - 4$. Точка (1, 0) является точкой минимума.

3) Построим график функции $y = \frac{x^3}{|x|} + 4x$.

Область определения функции — все действительные числа, кроме $x = 0$, так как знаменатель не может быть равен нулю. То есть $x \in (-\infty, 0) \cup (0, \infty)$.

Раскроем модуль, рассмотрев два случая.

Случай 1: $x > 0$. Тогда $|x| = x$, и функция принимает вид: $y = \frac{x^3}{x} + 4x = x^2 + 4x$. Это парабола с ветвями вверх. Вершина параболы находится в точке $x_в = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2$. Так как $-2 < 0$, вершина не принадлежит рассматриваемому промежутку $x > 0$. На этом промежутке функция возрастает. При $x \to 0^+$, $y \to 0^2 + 4(0) = 0$. Таким образом, на графике будет выколотая точка $(0, 0)$.

Случай 2: $x < 0$. Тогда $|x| = -x$, и функция принимает вид: $y = \frac{x^3}{-x} + 4x = -x^2 + 4x$. Это парабола с ветвями вниз. Вершина параболы находится в точке $x_в = -\frac{4}{2 \cdot (-1)} = 2$. Так как $2 > 0$, вершина не принадлежит рассматриваемому промежутку $x < 0$. На этом промежутке функция также возрастает. При $x \to 0^-$, $y \to -0^2 + 4(0) = 0$. Это подтверждает, что в точке $(0, 0)$ на графике разрыв (выколотая точка).

Таким образом, график функции состоит из двух частей:

• для $x > 0$ — это часть параболы $y = x^2 + 4x$;
• для $x < 0$ — это часть параболы $y = -x^2 + 4x$.

В точке $(0, 0)$ график имеет разрыв (выколотую точку).

Ответ: График состоит из двух частей. При $x > 0$ это часть параболы $y = x^2 + 4x$. При $x < 0$ это часть параболы $y = -x^2 + 4x$. Точка $(0, 0)$ не принадлежит графику (является выколотой).