Номер 7.44, страница 77 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 7. Квадратичная функция, её график и свойства - номер 7.44, страница 77.

Условие.

7.44. Постройте график функции:

1) $y = \frac{(x+3)^3}{x+3}$;

2) $y = \frac{x^3 - 6x^2 + 8x}{x}$;

3) $y = \frac{x^4 - 1}{1-x^2}$.

Решение.

1) $y = \frac{(x+3)^3}{x+3}$

Сначала найдем область определения функции. Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $x+3 \neq 0$, откуда $x \neq -3$.
Область определения: $D(y) = (-\infty; -3) \cup (-3; +\infty)$.
Теперь упростим выражение для функции при $x \neq -3$:
$y = \frac{(x+3)^3}{x+3} = (x+3)^2$.
Таким образом, нам нужно построить график функции $y = (x+3)^2$ с выколотой точкой при $x = -3$.
График функции $y = (x+3)^2$ — это парабола, полученная сдвигом графика функции $y=x^2$ на 3 единицы влево вдоль оси Ox. Вершина параболы находится в точке $(-3, 0)$.
Так как $x \neq -3$, точка, соответствующая этому значению x, должна быть исключена из графика. Найдем ординату этой точки, подставив $x = -3$ в упрощенное уравнение: $y(-3) = (-3+3)^2 = 0$.
Следовательно, точка $(-3, 0)$, которая является вершиной параболы, — это выколотая точка на графике.
Ответ: Графиком функции является парабола $y=(x+3)^2$ с выколотой точкой в вершине $(-3, 0)$.

2) $y = \frac{x^3 - 6x^2 + 8x}{x}$

Найдем область определения функции. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x \neq 0$.
Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
Упростим выражение, вынеся $x$ за скобки в числителе и сократив дробь при $x \neq 0$:
$y = \frac{x(x^2 - 6x + 8)}{x} = x^2 - 6x + 8$.
Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем координаты ее вершины:
$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3$.
$y_в = (3)^2 - 6(3) + 8 = 9 - 18 + 8 = -1$.
Вершина параболы находится в точке $(3, -1)$.
Найдем точки пересечения с осями координат. С осью Oy пересечения нет, так как $x \neq 0$ по области определения. Вместо этого найдем координаты выколотой точки, подставив $x=0$ в упрощенное выражение: $y(0) = 0^2 - 6(0) + 8 = 8$. Таким образом, точка $(0, 8)$ выколота. Для нахождения точек пересечения с осью Ox решим уравнение $y=0$: $x^2 - 6x + 8 = 0$. По теореме Виета, корни уравнения $x_1 = 2$ и $x_2 = 4$. Точки пересечения с осью Ox — $(2, 0)$ и $(4, 0)$.
Таким образом, график исходной функции — это парабола $y=x^2-6x+8$ с выколотой точкой $(0, 8)$.
Ответ: Графиком функции является парабола $y=x^2-6x+8$ с выколотой точкой $(0, 8)$.

3) $y = \frac{x^4 - 1}{1 - x^2}$

Найдем область определения функции. Знаменатель не должен быть равен нулю: $1 - x^2 \neq 0$, что означает $(1-x)(1+x) \neq 0$. Следовательно, $x \neq 1$ и $x \neq -1$.
Область определения: $D(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty)$.
Упростим выражение функции, разложив числитель и знаменатель на множители:
$y = \frac{(x^2 - 1)(x^2 + 1)}{-(x^2 - 1)}$.
При $x \neq \pm 1$, мы можем сократить дробь на $(x^2-1)$:
$y = -(x^2 + 1) = -x^2 - 1$.
Графиком этой функции является парабола $y = -x^2 - 1$. Это парабола $y = -x^2$, смещенная на 1 единицу вниз вдоль оси Oy. Ветви параболы направлены вниз, а вершина находится в точке $(0, -1)$.
Так как $x \neq 1$ и $x \neq -1$, нужно найти и выколоть соответствующие точки на графике.
При $x=1$: $y = -(1^2) - 1 = -2$. Выколотая точка $(1, -2)$.
При $x=-1$: $y = -((-1)^2) - 1 = -1 - 1 = -2$. Выколотая точка $(-1, -2)$.
Ответ: Графиком функции является парабола $y=-x^2-1$ с выколотыми точками $(1, -2)$ и $(-1, -2)$.