Номер 7.47, страница 78 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 7. Квадратичная функция, её график и свойства - номер 7.47, страница 78.

Условие.

7.47. Установите, сколько корней имеет уравнение в зависимости от значения параметра $a$:

1) $|x^2 - 4|x| + 3| = a$;

2) $x^2 + 3|x - 1| - 1 = a$.

Решение.

1)

Решим задачу графически. Рассмотрим функцию $f(x) = |x^2 - 4|x| + 3|$. Количество корней исходного уравнения равно количеству точек пересечения графика функции $y=f(x)$ с горизонтальной прямой $y=a$.

Так как $x^2 = |x|^2$, функцию можно переписать в виде $f(x) = ||x|^2 - 4|x| + 3|$. Эта функция является четной, поскольку $f(-x) = ||-x|^2 - 4|-x| + 3| = ||x|^2 - 4|x| + 3| = f(x)$. Следовательно, ее график симметричен относительно оси ординат (оси Oy).

Построим график функции для $x \ge 0$. В этом случае $|x| = x$, и функция принимает вид $f(x) = |x^2 - 4x + 3|$.

Сначала рассмотрим параболу $g(x) = x^2 - 4x + 3$. Ее ветви направлены вверх. Найдем ее корни: $x^2 - 4x + 3 = 0 \implies (x-1)(x-3)=0$, откуда $x_1=1$, $x_2=3$. Вершина параболы находится в точке $x_v = -(-4)/(2 \cdot 1) = 2$. Значение в вершине: $g(2) = 2^2 - 4(2) + 3 = -1$.

График функции $f(x)=|g(x)|$ получается из графика $g(x)$ путем симметричного отражения относительно оси Ox той части графика, которая лежит ниже этой оси (на интервале $(1, 3)$). Таким образом, для $x \ge 0$ график $y=f(x)$ имеет следующие ключевые точки:

• $(0, f(0)) = (0, |3|) = (0, 3)$
• $(1, f(1)) = (1, 0)$ — точка минимума.
• $(2, f(2)) = (2, |-1|) = (2, 1)$ — точка локального максимума.
• $(3, f(3)) = (3, 0)$ — точка минимума.

Отразив построенный для $x \ge 0$ график симметрично относительно оси Oy, получим полный график функции $y=f(x)$. Он имеет следующие экстремумы:

• Глобальные минимумы в точках $x = \pm 1$ и $x = \pm 3$, где $f(x)=0$.
• Локальные максимумы в точках $x = \pm 2$, где $f(x)=1$.
• Локальный максимум в точке $x=0$, где $f(x)=3$.

Анализируя количество точек пересечения графика $y=f(x)$ с прямой $y=a$, получаем:

• При $a < 0$: нет точек пересечения, следовательно, нет корней.
• При $a = 0$: прямая совпадает с осью Ox, 4 точки пересечения ($x = \pm 1, x = \pm 3$), следовательно, 4 корня.
• При $0 < a < 1$: 8 точек пересечения, следовательно, 8 корней.
• При $a = 1$: прямая проходит через локальные максимумы $x=\pm2$ и пересекает график еще в 4 точках, итого 6 точек пересечения, следовательно, 6 корней.
• При $1 < a < 3$: 4 точки пересечения, следовательно, 4 корня.
• При $a = 3$: прямая проходит через локальный максимум $x=0$ и пересекает график еще в 2 точках, итого 3 точки пересечения, следовательно, 3 корня.
• При $a > 3$: 2 точки пересечения, следовательно, 2 корня.

Ответ:

• при $a < 0$ — нет корней;
• при $a = 0$ — 4 корня;
• при $a \in (0, 1)$ — 8 корней;
• при $a = 1$ — 6 корней;
• при $a \in (1, 3)$ — 4 корня;
• при $a = 3$ — 3 корня;
• при $a > 3$ — 2 корня.

2)

Рассмотрим уравнение $x^2 + 3|x-1| - 1 = a$. Решим его графически. Для этого исследуем функцию $f(x) = x^2 + 3|x-1| - 1$ и определим, сколько раз прямая $y=a$ пересекает ее график.

Раскроем модуль, рассмотрев два случая:

1. Если $x \ge 1$, то $|x-1| = x-1$.
Функция принимает вид: $f(x) = x^2 + 3(x-1) - 1 = x^2 + 3x - 4$.
Это парабола с ветвями вверх. Абсцисса ее вершины $x_v = -3/2 = -1.5$, что не принадлежит промежутку $x \ge 1$. Следовательно, на промежутке $[1, \infty)$ функция монотонно возрастает.

2. Если $x < 1$, то $|x-1| = -(x-1) = 1-x$.
Функция принимает вид: $f(x) = x^2 + 3(1-x) - 1 = x^2 - 3x + 2$.
Это парабола с ветвями вверх. Абсцисса ее вершины $x_v = -(-3)/2 = 1.5$, что не принадлежит промежутку $x < 1$. Следовательно, на промежутке $(-\infty, 1)$ функция монотонно убывает.

Найдем значение функции в точке "стыка" $x=1$:
$f(1) = 1^2 + 3|1-1| - 1 = 1 + 0 - 1 = 0$.
Таким образом, функция $f(x)$ убывает на промежутке $(-\infty, 1]$ до своего минимального значения $f(1)=0$, а затем возрастает на промежутке $[1, \infty)$. Точка $(1, 0)$ является точкой глобального минимума функции.

Теперь определим количество корней уравнения $f(x)=a$ в зависимости от $a$:

• Если $a < 0$, прямая $y=a$ проходит ниже минимума функции и не имеет с графиком общих точек. Корней нет.
• Если $a = 0$, прямая $y=a$ касается графика в его точке минимума $(1, 0)$. Уравнение имеет один корень $x=1$.
• Если $a > 0$, прямая $y=a$ пересекает график функции в двух точках: одну на убывающем участке (при $x < 1$) и одну на возрастающем (при $x > 1$). Уравнение имеет два корня.

Ответ:

• при $a < 0$ — нет корней;
• при $a = 0$ — 1 корень;
• при $a > 0$ — 2 корня.