Номер 7.45, страница 78 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 7. Квадратичная функция, её график и свойства - номер 7.45, страница 78.

Условие.

7.45. Постройте график функции:

1) $y = x^2 - 4|x - 1| - 1;$

2) $y = \frac{x}{|x|}(x^2 - x - 6);$

3) $y = x^2 + 3x \cdot \frac{|x - 3|}{x - 3} - 4.$

Решение.

1) $y = x^2 - 4|x - 1| - 1$

Для построения графика этой функции необходимо раскрыть модуль $|x - 1|$. Для этого рассмотрим два случая.

Случай 1: $x - 1 \ge 0$, то есть $x \ge 1$.
В этом случае $|x - 1| = x - 1$, и функция принимает вид:
$y = x^2 - 4(x - 1) - 1 = x^2 - 4x + 4 - 1 = x^2 - 4x + 3$.
Это график параболы с ветвями, направленными вверх. Найдем координаты ее вершины:
$x_0 = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$.
$y_0 = 2^2 - 4 \cdot 2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$.
Вершина находится в точке $(2, -1)$.
Найдем точки пересечения с осью Ox, решив уравнение $x^2 - 4x + 3 = 0$:
$(x - 1)(x - 3) = 0$. Корни $x_1 = 1$, $x_2 = 3$. Оба значения удовлетворяют условию $x \ge 1$.

Случай 2: $x - 1 < 0$, то есть $x < 1$.
В этом случае $|x - 1| = -(x - 1)$, и функция принимает вид:
$y = x^2 - 4(-(x - 1)) - 1 = x^2 + 4(x - 1) - 1 = x^2 + 4x - 5$.
Это также парабола с ветвями вверх. Найдем координаты ее вершины:
$x_0 = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2$.
$y_0 = (-2)^2 + 4(-2) - 5 = 4 - 8 - 5 = -9$.
Вершина находится в точке $(-2, -9)$.
Найдем точки пересечения с осью Ox, решив уравнение $x^2 + 4x - 5 = 0$:
$(x + 5)(x - 1) = 0$. Корень $x_1 = -5$ удовлетворяет условию $x < 1$. Корень $x_2=1$ является граничной точкой.

Итак, для построения графика нужно:
1. На промежутке $(-\infty, 1)$ построить параболу $y = x^2 + 4x - 5$.
2. На промежутке $[1, +\infty)$ построить параболу $y = x^2 - 4x + 3$.
Эти две части графика плавно соединяются в точке $(1, 0)$.

Ответ: График функции представляет собой объединение двух частей парабол: части параболы $y = x^2 + 4x - 5$ при $x < 1$ (с вершиной в точке $(-2, -9)$ и пересечением оси Ox в точке $(-5, 0)$) и части параболы $y = x^2 - 4x + 3$ при $x \ge 1$ (с вершиной в точке $(2, -1)$ и пересечениями оси Ox в точках $(1, 0)$ и $(3, 0)$).

2) $y = \frac{x}{|x|} (x^2 - x - 6)$

Область определения функции (ОДЗ): $|x| \neq 0$, следовательно, $x \neq 0$. График не пересекает ось Oy. Раскроем модуль, рассмотрев два случая.

Случай 1: $x > 0$.
Тогда $|x| = x$, и выражение $\frac{x}{|x|}$ равно 1. Функция принимает вид:
$y = x^2 - x - 6$.
Это парабола с ветвями вверх. Координаты вершины:
$x_0 = -\frac{-1}{2 \cdot 1} = 0.5$.
$y_0 = (0.5)^2 - 0.5 - 6 = 0.25 - 0.5 - 6 = -6.25$.
Вершина $(0.5, -6.25)$.
Пересечение с осью Ox: $x^2 - x - 6 = 0 \implies (x - 3)(x + 2) = 0$. Условию $x > 0$ удовлетворяет корень $x = 3$.
Поскольку $x \neq 0$, найдем предел функции при $x \to 0^+$. $y \to 0^2 - 0 - 6 = -6$. Точка $(0, -6)$ является выколотой.

Случай 2: $x < 0$.
Тогда $|x| = -x$, и выражение $\frac{x}{|x|}$ равно -1. Функция принимает вид:
$y = -(x^2 - x - 6) = -x^2 + x + 6$.
Это парабола с ветвями вниз. Координаты вершины:
$x_0 = -\frac{1}{2 \cdot (-1)} = 0.5$.
Вершина $(0.5, 6.25)$ не принадлежит рассматриваемому промежутку $x < 0$. На этом промежутке график будет частью левой ветви параболы.
Пересечение с осью Ox: $-x^2 + x + 6 = 0 \implies x^2 - x - 6 = 0$. Условию $x < 0$ удовлетворяет корень $x = -2$.
Найдем предел функции при $x \to 0^-$. $y \to -0^2 + 0 + 6 = 6$. Точка $(0, 6)$ является выколотой.

Ответ: График функции состоит из двух частей. При $x > 0$ это часть параболы $y = x^2 - x - 6$ с вершиной в $(0.5, -6.25)$ и выколотой точкой $(0, -6)$. При $x < 0$ это часть параболы $y = -x^2 + x + 6$, пересекающая ось Ox в точке $(-2, 0)$ и имеющая выколотую точку $(0, 6)$.

3) $y = x^2 + 3x \cdot \frac{|x - 3|}{x - 3} - 4$

Область определения функции (ОДЗ): $x - 3 \neq 0$, следовательно, $x \neq 3$. Прямая $x=3$ не принадлежит графику. Раскроем модуль, рассмотрев два случая.

Случай 1: $x - 3 > 0$, то есть $x > 3$.
Тогда $|x - 3| = x - 3$, и выражение $\frac{|x - 3|}{x - 3}$ равно 1. Функция принимает вид:
$y = x^2 + 3x - 4$.
Это парабола с ветвями вверх. Координаты вершины: $x_0 = -\frac{3}{2 \cdot 1} = -1.5$. Вершина не принадлежит промежутку $x > 3$. На этом промежутке функция возрастает.
Поскольку $x \neq 3$, найдем предел функции при $x \to 3^+$. $y \to 3^2 + 3 \cdot 3 - 4 = 9 + 9 - 4 = 14$. Точка $(3, 14)$ является выколотой.

Случай 2: $x - 3 < 0$, то есть $x < 3$.
Тогда $|x - 3| = -(x - 3)$, и выражение $\frac{|x - 3|}{x - 3}$ равно -1. Функция принимает вид:
$y = x^2 + 3x(-1) - 4 = x^2 - 3x - 4$.
Это парабола с ветвями вверх. Координаты вершины:
$x_0 = -\frac{-3}{2 \cdot 1} = 1.5$.
$y_0 = (1.5)^2 - 3(1.5) - 4 = 2.25 - 4.5 - 4 = -6.25$.
Вершина $(1.5, -6.25)$ принадлежит промежутку $x < 3$.
Пересечение с осью Ox: $x^2 - 3x - 4 = 0 \implies (x - 4)(x + 1) = 0$. Условию $x < 3$ удовлетворяет корень $x = -1$.
Найдем предел функции при $x \to 3^-$. $y \to 3^2 - 3 \cdot 3 - 4 = 9 - 9 - 4 = -4$. Точка $(3, -4)$ является выколотой.

Ответ: График функции состоит из двух частей, разделенных вертикальной асимптотической линией $x=3$. При $x > 3$ это часть параболы $y = x^2 + 3x - 4$, начинающаяся из выколотой точки $(3, 14)$. При $x < 3$ это парабола $y = x^2 - 3x - 4$ с вершиной в $(1.5, -6.25)$ и выколотой точкой $(3, -4)$.