Номер 7.50, страница 78 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 7. Квадратичная функция, её график и свойства - номер 7.50, страница 78.

Условие.

7.50. Могут ли графики квадратичных функций $y = ax^2 + bx + c$ и $y = bx^2 + cx + a$ быть расположены так, как показано на рисунке 7.13?

Рис. 7.13

Рис. 7.14

Решение.

Нет, такое расположение графиков невозможно. Приведем доказательство от противного.

Предположим, что графики квадратичных функций $y = ax^2 + bx + c$ и $y = bx^2 + cx + a$ могут быть расположены так, как показано на рисунке.

1. Из рисунка видно, что оба графика — это параболы, ветви которых направлены вверх. У квадратичной функции $y = Px^2 + Qx + R$ ветви направлены вверх, если старший коэффициент $P$ положителен. Следовательно, для наших функций должны выполняться неравенства $a > 0$ и $b > 0$.

2. Также из рисунка видно, что вершины обеих парабол находятся правее оси ординат (в правой полуплоскости), что означает, что абсциссы (координаты $x$) их вершин положительны.

3. Абсцисса вершины параболы, заданной уравнением $y = Px^2 + Qx + R$, находится по формуле $x_v = -\frac{Q}{2P}$.

Рассмотрим первую функцию $y = ax^2 + bx + c$. Абсцисса её вершины равна $x_v = -\frac{b}{2a}$.

4. Сопоставим выводы. Из пункта 1 мы знаем, что $a > 0$ и $b > 0$. Это означает, что дробь $\frac{b}{2a}$ является отношением двух положительных чисел, а значит, сама является положительной. Тогда абсцисса вершины $x_v = -\frac{b}{2a}$ будет отрицательной, так как это положительная дробь со знаком минус.

Таким образом, мы приходим к противоречию:

• Из анализа расположения графика на рисунке следует, что абсцисса вершины должна быть положительной ($x_v > 0$).
• Из анализа коэффициентов функции следует, что абсцисса вершины должна быть отрицательной ($x_v < 0$).

Поскольку одновременное выполнение этих условий невозможно, наше первоначальное предположение было неверным.

Ответ: Нет, не могут.