Номер 7.56, страница 79 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 7. Квадратичная функция, её график и свойства - номер 7.56, страница 79.

Условие.

7.56. Дана функция $f(t) = t^2 - 2t$. Постройте график функции $g$, если $g(x) = \min_{[x-1; x]} f(t)$.

Решение.

Для построения графика функции $g(x) = \min_{[x-1; x]} f(t)$, где $f(t) = t^2 - 2t$, необходимо сначала проанализировать функцию $f(t)$.

Анализ функции f(t)

Функция $f(t) = t^2 - 2t$ — это квадратичная функция, её график — парабола, ветви которой направлены вверх. Найдём координаты вершины этой параболы.

Абсцисса вершины: $t_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$.

Ордината вершины: $f(t_в) = f(1) = 1^2 - 2 \cdot 1 = -1$.

Следовательно, вершина параболы находится в точке $(1; -1)$. Функция $f(t)$ убывает на промежутке $(-\infty; 1]$ и возрастает на промежутке $[1; +\infty)$.

Нахождение функции g(x)

Функция $g(x)$ равна наименьшему значению функции $f(t)$ на отрезке $[x-1; x]$. Длина этого отрезка равна 1. Положение этого отрезка относительно вершины параболы $t_в = 1$ определяет, в какой точке отрезка будет достигаться минимум. Рассмотрим три возможных случая.

Случай 1: Отрезок $[x-1; x]$ находится правее вершины или включает её правую границу.

Это происходит, когда $x \le 1$. На отрезке $[x-1; x]$ функция $f(t)$ является убывающей. Следовательно, её минимальное значение достигается на правом конце отрезка, то есть в точке $t = x$.
$g(x) = f(x) = x^2 - 2x$.

Случай 2: Отрезок $[x-1; x]$ находится левее вершины или включает её левую границу.

Это происходит, когда $x-1 \ge 1$, то есть $x \ge 2$. На отрезке $[x-1; x]$ функция $f(t)$ является возрастающей. Следовательно, её минимальное значение достигается на левом конце отрезка, то есть в точке $t = x-1$.
$g(x) = f(x-1) = (x-1)^2 - 2(x-1) = x^2 - 2x + 1 - 2x + 2 = x^2 - 4x + 3$.

Случай 3: Вершина параболы находится внутри отрезка $[x-1; x]$.

Это происходит, когда $x-1 < 1 < x$, что эквивалентно $1 < x < 2$. В этом случае минимальное значение функции $f(t)$ на отрезке $[x-1; x]$ достигается в точке вершины $t=1$.
$g(x) = f(1) = -1$.

Построение графика функции g(x)

Объединив все три случая, мы получаем кусочно-заданную функцию:$g(x) = \begin{cases} x^2 - 2x, & \text{ если } x \le 1 \\ -1, & \text{ если } 1 < x < 2 \\ x^2 - 4x + 3, & \text{ если } x \ge 2 \end{cases}$

Функция $g(x)$ является непрерывной. График функции состоит из трёх частей:

• При $x \le 1$ график совпадает с графиком параболы $y = x^2 - 2x$ (часть исходной параболы до её вершины).
• При $1 \le x \le 2$ график представляет собой отрезок горизонтальной прямой $y = -1$, соединяющий точки $(1; -1)$ и $(2; -1)$.
• При $x \ge 2$ график совпадает с графиком параболы $y = x^2 - 4x + 3$. Вершина этой параболы находится в точке $(2; -1)$. Эта часть графика является результатом сдвига параболы $y=x^2-2x$ на 1 единицу вправо.

Таким образом, график $g(x)$ представляет собой "сглаженное дно", состоящее из двух ветвей парабол, соединенных горизонтальным отрезком.

Ответ: График функции $g(x)$ состоит из части параболы $y = x^2 - 2x$ на луче $(-\infty, 1]$, отрезка прямой $y = -1$ на отрезке $[1, 2]$ и части параболы $y = x^2 - 4x + 3$ на луче $[2, +\infty)$.