Номер 7.58, страница 79 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 7. Квадратичная функция, её график и свойства - номер 7.58, страница 79.

Условие.

7.58. Найдите наименьшее значение функции $y = (x^2 + x)^2 + 2(x^2 + x) + 2$ на $D(f)$.

Решение.

Данная функция $y = (x^2 + x)^2 + 2(x^2 + x) + 2$. Область определения функции $D(f)$ — все действительные числа, так как это многочлен.

Для нахождения наименьшего значения введем замену переменной. Пусть $t = x^2 + x$. Тогда исходная функция примет вид:

$y(t) = t^2 + 2t + 2$

Теперь нам нужно найти, какие значения может принимать переменная $t$. Функция $t(x) = x^2 + x$ представляет собой параболу с ветвями, направленными вверх. Ее наименьшее значение достигается в вершине. Найдем координаты вершины параболы:

$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2 \cdot 1} = -\frac{1}{2}$

Найдем наименьшее значение $t$, подставив $x_в$ в функцию $t(x)$:

$t_{min} = (-\frac{1}{2})^2 + (-\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}$

Таким образом, область значений для $t$ — это промежуток $[-\frac{1}{4}; +\infty)$.

Теперь найдем наименьшее значение функции $y(t) = t^2 + 2t + 2$ на промежутке $t \ge -\frac{1}{4}$. Эта функция также является параболой с ветвями вверх. Найдем ее вершину:

$t_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1$

Вершина параболы $y(t)$ находится в точке $t = -1$. Эта точка не входит в область допустимых значений для $t$ ($t \ge -\frac{1}{4}$). Так как вершина находится левее промежутка $[-\frac{1}{4}; +\infty)$, на этом промежутке функция $y(t)$ является возрастающей. Следовательно, свое наименьшее значение она принимает в левой граничной точке промежутка, то есть при $t = -\frac{1}{4}$.

Найдем это значение:

$y_{min} = y(-\frac{1}{4}) = (-\frac{1}{4})^2 + 2(-\frac{1}{4}) + 2 = \frac{1}{16} - \frac{2}{4} + 2 = \frac{1}{16} - \frac{8}{16} + \frac{32}{16} = \frac{1 - 8 + 32}{16} = \frac{25}{16}$

Ответ: $\frac{25}{16}$