Номер 8.5, страница 85 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 8. Решение квадратных неравенств - номер 8.5, страница 85.

Условие.

8.5. Решите неравенство:

1) $x(x+5)-2 < 4x;$

2) $11-(x+1)^2 \le x;$

3) $(2x+1)^2-(x+1)(x-7) \le 5;$

4) $\frac{2x^2-1}{4} - \frac{3-4x}{6} + \frac{8x-5}{8} \le \frac{19}{24}.$

Решение.

1) $x(x + 5) - 2 < 4x$

Раскроем скобки в левой части неравенства:

$x^2 + 5x - 2 < 4x$

Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 + 5x - 4x - 2 < 0$

$x^2 + x - 2 < 0$

Для решения квадратного неравенства найдем корни соответствующего уравнения $x^2 + x - 2 = 0$.

Используя теорему Виета, получаем:

$x_1 + x_2 = -1$

$x_1 \cdot x_2 = -2$

Корни уравнения: $x_1 = -2$ и $x_2 = 1$.

Так как коэффициент при $x^2$ положителен ($1 > 0$), ветви параболы $y = x^2 + x - 2$ направлены вверх. Неравенство $x^2 + x - 2 < 0$ выполняется на интервале между корнями.

Таким образом, решением неравенства является интервал $(-2; 1)$.

Ответ: $(-2; 1)$.

2) $11 - (x + 1)^2 \le x$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы:

$11 - (x^2 + 2x + 1) \le x$

$11 - x^2 - 2x - 1 \le x$

$10 - x^2 - 2x \le x$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить квадратное неравенство с положительным коэффициентом при $x^2$:

$0 \le x^2 + 2x + x - 10$

$x^2 + 3x - 10 \ge 0$

Найдем корни уравнения $x^2 + 3x - 10 = 0$. По теореме Виета:

$x_1 + x_2 = -3$

$x_1 \cdot x_2 = -10$

Корни уравнения: $x_1 = -5$ и $x_2 = 2$.

Ветви параболы $y = x^2 + 3x - 10$ направлены вверх. Неравенство $x^2 + 3x - 10 \ge 0$ выполняется, когда $x$ находится вне интервала между корнями, включая сами корни.

Следовательно, решение неравенства: $x \le -5$ или $x \ge 2$.

Ответ: $(-\infty; -5] \cup [2; +\infty)$.

3) $(2x + 1)^2 - (x + 1)(x - 7) \le 5$

Раскроем скобки в левой части:

$(4x^2 + 4x + 1) - (x^2 - 7x + x - 7) \le 5$

$4x^2 + 4x + 1 - (x^2 - 6x - 7) \le 5$

$4x^2 + 4x + 1 - x^2 + 6x + 7 \le 5$

Приведем подобные слагаемые:

$3x^2 + 10x + 8 \le 5$

Перенесем 5 в левую часть:

$3x^2 + 10x + 8 - 5 \le 0$

$3x^2 + 10x + 3 \le 0$

Найдем корни уравнения $3x^2 + 10x + 3 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64$.

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-10 - \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{-10 - 8}{6} = \frac{-18}{6} = -3$

$x_2 = \frac{-10 + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{-10 + 8}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$

Ветви параболы $y = 3x^2 + 10x + 3$ направлены вверх. Неравенство $3x^2 + 10x + 3 \le 0$ выполняется на отрезке между корнями.

Следовательно, решением является отрезок $[-3; -1/3]$.

Ответ: $[-3; -1/3]$.

4) $\frac{2x^2 - 1}{4} - \frac{3 - 4x}{6} + \frac{8x - 5}{8} \le \frac{19}{24}$

Умножим обе части неравенства на наименьшее общее кратное знаменателей (4, 6, 8, 24), равное 24, чтобы избавиться от дробей:

$24 \cdot \frac{2x^2 - 1}{4} - 24 \cdot \frac{3 - 4x}{6} + 24 \cdot \frac{8x - 5}{8} \le 24 \cdot \frac{19}{24}$

$6(2x^2 - 1) - 4(3 - 4x) + 3(8x - 5) \le 19$

Раскроем скобки:

$12x^2 - 6 - 12 + 16x + 24x - 15 \le 19$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$12x^2 + 40x - 33 \le 19$

Перенесем 19 в левую часть:

$12x^2 + 40x - 33 - 19 \le 0$

$12x^2 + 40x - 52 \le 0$

Разделим все члены неравенства на 4 для упрощения:

$3x^2 + 10x - 13 \le 0$

Найдем корни уравнения $3x^2 + 10x - 13 = 0$.

Так как сумма коэффициентов $3 + 10 - 13 = 0$, то один из корней равен $x_1 = 1$.

Второй корень найдем по теореме Виета: $x_1 \cdot x_2 = c/a$, то есть $1 \cdot x_2 = -13/3$, откуда $x_2 = -13/3$.

Ветви параболы $y = 3x^2 + 10x - 13$ направлены вверх. Неравенство $3x^2 + 10x - 13 \le 0$ выполняется на отрезке между корнями.

Следовательно, решение неравенства: $-13/3 \le x \le 1$.

Ответ: $[-13/3; 1]$.