Номер 8.10, страница 85 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 8. Решение квадратных неравенств - номер 8.10, страница 85.

Условие.

8.10. Найдите область определения функции:

1) $y = \sqrt{-x^2 + 3x + 4}$;

2) $y = \frac{x + 2}{\sqrt{6x - 2x^2}}$.

Решение.

1) Область определения функции $y = \sqrt{-x^2 + 3x + 4}$ находится из условия, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то есть большим или равным нулю.

Запишем соответствующее неравенство:

$-x^2 + 3x + 4 \ge 0$

Для решения этого квадратного неравенства сначала найдем корни квадратного трехчлена $-x^2 + 3x + 4$, приравняв его к нулю:

$-x^2 + 3x + 4 = 0$

Умножим обе части уравнения на -1 для удобства:

$x^2 - 3x - 4 = 0$

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 5}{2} = -1$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 5}{2} = 4$

Графиком функции $y = -x^2 + 3x + 4$ является парабола, ветви которой направлены вниз (так как коэффициент при $x^2$ отрицательный). Следовательно, значения функции будут неотрицательными на промежутке между корнями, включая сами корни.

Таким образом, решением неравенства является промежуток $[-1; 4]$.

Ответ: $D(y) = [-1; 4]$.

2) Область определения функции $y = \frac{x+2}{\sqrt{6x - 2x^2}}$ находится из двух условий:

1. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $6x - 2x^2 \ge 0$.

2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $\sqrt{6x - 2x^2} \ne 0$, что эквивалентно $6x - 2x^2 \ne 0$.

Объединяя эти два условия, получаем, что подкоренное выражение в знаменателе должно быть строго положительным:

$6x - 2x^2 > 0$

Решим это неравенство. Сначала найдем корни соответствующего уравнения $6x - 2x^2 = 0$.

Вынесем общий множитель $2x$ за скобки:

$2x(3 - x) = 0$

Отсюда получаем два корня:

$x_1 = 0$

$x_2 = 3$

Графиком функции $y = 6x - 2x^2$ является парабола, ветви которой направлены вниз (коэффициент при $x^2$ равен -2). Следовательно, значения функции будут положительными на интервале между корнями.

Таким образом, решением неравенства является интервал $(0; 3)$.

Ответ: $D(y) = (0; 3)$.