Номер 8.17, страница 86 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 8. Решение квадратных неравенств - номер 8.17, страница 86.

Условие.

8.17. Найдите целые решения системы неравенств:

1) $ \begin{cases} -2x^2 - 5x + 18 \ge 0, \\ x^2 + 4x - 5 \le 0; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} x^2 - (\sqrt{5} - 3)x - 3\sqrt{5} \le 0, \\ x^2 + x > 0. \end{cases} $

Решение.

1) Решим систему неравенств:
$ \begin{cases} -2x^2 - 5x + 18 \ge 0, \\ x^2 + 4x - 5 \le 0; \end{cases} $
Сначала решим первое неравенство: $-2x^2 - 5x + 18 \ge 0$.
Умножим обе части на -1 и изменим знак неравенства на противоположный: $2x^2 + 5x - 18 \le 0$.
Найдем корни квадратного уравнения $2x^2 + 5x - 18 = 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-18) = 25 + 144 = 169 = 13^2$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{-5 - 13}{2 \cdot 2} = \frac{-18}{4} = -4,5$; $x_2 = \frac{-5 + 13}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$.
Так как это парабола с ветвями вверх ($a=2>0$), неравенство $2x^2 + 5x - 18 \le 0$ выполняется между корнями.
Решение первого неравенства: $x \in [-4,5; 2]$.
Теперь решим второе неравенство: $x^2 + 4x - 5 \le 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 + 4x - 5 = 0$. По теореме Виета, корни равны $x_1 = -5$ и $x_2 = 1$.
Это парабола с ветвями вверх ($a=1>0$), поэтому неравенство $x^2 + 4x - 5 \le 0$ выполняется между корнями.
Решение второго неравенства: $x \in [-5; 1]$.
Найдем пересечение решений обоих неравенств: $[-4,5; 2] \cap [-5; 1]$.
Пересечением является промежуток $[-4,5; 1]$.
Требуется найти целые решения. Целые числа, которые принадлежат промежутку $[-4,5; 1]$, это: -4, -3, -2, -1, 0, 1.
Ответ: -4, -3, -2, -1, 0, 1.

2) Решим систему неравенств:
$ \begin{cases} x^2 - (\sqrt{5} - 3)x - 3\sqrt{5} \le 0, \\ x^2 + x > 0. \end{cases} $
Сначала решим первое неравенство: $x^2 - (\sqrt{5} - 3)x - 3\sqrt{5} \le 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 - (\sqrt{5} - 3)x - 3\sqrt{5} = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна $\sqrt{5} - 3$, а их произведение равно $-3\sqrt{5}$. Легко подобрать корни: $x_1 = -3$ и $x_2 = \sqrt{5}$.
Это парабола с ветвями вверх ($a=1>0$), поэтому неравенство $\le 0$ выполняется между корнями.
Решение первого неравенства: $x \in [-3; \sqrt{5}]$.
Теперь решим второе неравенство: $x^2 + x > 0$.
Разложим на множители левую часть: $x(x+1) > 0$.
Корни уравнения $x(x+1)=0$ равны $x_1 = 0$ и $x_2 = -1$.
Это парабола с ветвями вверх ($a=1>0$), поэтому неравенство $> 0$ выполняется за пределами корней.
Решение второго неравенства: $x \in (-\infty; -1) \cup (0; \infty)$.
Найдем пересечение решений обоих неравенств: $[-3; \sqrt{5}] \cap ((-\infty; -1) \cup (0; \infty))$.
Пересечением является объединение промежутков $[-3; -1) \cup (0; \sqrt{5}]$.
Требуется найти целые решения.
Целые числа из промежутка $[-3; -1)$: -3, -2.
Учитывая, что $2^2=4$ и $3^2=9$, то $2 < \sqrt{5} < 3$. Целые числа из промежутка $(0; \sqrt{5}]$: 1, 2.
Объединив найденные целые числа, получаем полный список решений.
Ответ: -3, -2, 1, 2.