Номер 8.22, страница 87 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 8. Решение квадратных неравенств - номер 8.22, страница 87.

Условие.

8.22. Решите неравенство:

1) $ \left|x^2 - x - 3\right| < 9; $

2) $ \left|x^2 - 4\right| < 3x; $

3) $ x^2 - 5x + 9 > \left|x - 6\right|; $

4) $ \left|4x - 3\right| \ge x^2 - 3x + 3; $

5) $ \left|3x - 2\right|x < 1; $

6) $ \left|x - 4\right|(x + 2) \ge 4x. $

Решение.

1) $|x^2 - x - 3| < 9$

Данное неравенство равносильно двойному неравенству:

$-9 < x^2 - x - 3 < 9$

Это, в свою очередь, эквивалентно системе из двух неравенств:

$\begin{cases} x^2 - x - 3 > -9 \\ x^2 - x - 3 < 9 \end{cases}$

Решим первое неравенство системы:

$x^2 - x - 3 + 9 > 0$

$x^2 - x + 6 > 0$

Найдем дискриминант квадратного трехчлена $x^2 - x + 6$: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 1 - 24 = -23$.

Так как $D < 0$ и старший коэффициент $a=1 > 0$, то квадратный трехчлен положителен при любых действительных значениях $x$. Таким образом, решение первого неравенства — $x \in (-\infty; +\infty)$.

Решим второе неравенство системы:

$x^2 - x - 3 - 9 < 0$

$x^2 - x - 12 < 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - x - 12 = 0$. По теореме Виета, корни равны $x_1 = -3$ и $x_2 = 4$.

Парабола $y = x^2 - x - 12$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство $x^2 - x - 12 < 0$ выполняется между корнями, то есть при $x \in (-3; 4)$.

Решением исходной системы является пересечение решений двух неравенств: $(-\infty; +\infty) \cap (-3; 4)$.

Ответ: $(-3; 4)$.

2) $|x^2 - 4| < 3x$

Поскольку модуль числа — величина неотрицательная, правая часть неравенства должна быть строго положительной: $3x > 0$, откуда $x > 0$.

При условии $x > 0$ неравенство $|x^2 - 4| < 3x$ равносильно двойному неравенству:

$-3x < x^2 - 4 < 3x$

Это эквивалентно системе неравенств:

$\begin{cases} x^2 - 4 > -3x \\ x^2 - 4 < 3x \end{cases}$

Решим первое неравенство:

$x^2 + 3x - 4 > 0$

Корни уравнения $x^2 + 3x - 4 = 0$ равны $x_1 = -4$ и $x_2 = 1$. Парабола направлена ветвями вверх, поэтому решение неравенства: $x \in (-\infty; -4) \cup (1; +\infty)$.

Решим второе неравенство:

$x^2 - 3x - 4 < 0$

Корни уравнения $x^2 - 3x - 4 = 0$ равны $x_1 = -1$ и $x_2 = 4$. Парабола направлена ветвями вверх, поэтому решение неравенства: $x \in (-1; 4)$.

Окончательное решение является пересечением трех множеств: $x > 0$, $x \in (-\infty; -4) \cup (1; +\infty)$ и $x \in (-1; 4)$.

Пересекая эти множества, получаем $x \in (1; 4)$.

Ответ: $(1; 4)$.

3) $x^2 - 5x + 9 > |x - 6|$

Рассмотрим левую часть неравенства: $x^2 - 5x + 9$. Дискриминант этого квадратного трехчлена $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 25 - 36 = -11$. Так как $D < 0$ и старший коэффициент $a=1 > 0$, то $x^2 - 5x + 9 > 0$ для всех $x$.

Поскольку обе части неравенства неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат:

$(x^2 - 5x + 9)^2 > (x - 6)^2$

$(x^2 - 5x + 9)^2 - (x - 6)^2 > 0$

Применим формулу разности квадратов:

$( (x^2 - 5x + 9) - (x - 6) ) ( (x^2 - 5x + 9) + (x - 6) ) > 0$

$(x^2 - 6x + 15)(x^2 - 4x + 3) > 0$

Рассмотрим первый множитель $x^2 - 6x + 15$. Его дискриминант $D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15 = 36 - 60 = -24 < 0$. Так как $D < 0$ и $a=1 > 0$, этот множитель всегда положителен.

Поэтому знак всего выражения зависит только от знака второго множителя:

$x^2 - 4x + 3 > 0$

Корни уравнения $x^2 - 4x + 3 = 0$ равны $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$. Парабола направлена ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется вне интервала между корнями.

Ответ: $(-\infty; 1) \cup (3; +\infty)$.

4) $|4x - 3| \ge x^2 - 3x + 3$

Раскроем модуль, рассмотрев два случая.

Случай 1: $4x - 3 \ge 0$, то есть $x \ge \frac{3}{4}$.

Неравенство принимает вид:

$4x - 3 \ge x^2 - 3x + 3$

$0 \ge x^2 - 7x + 6$

$x^2 - 7x + 6 \le 0$

Корни уравнения $x^2 - 7x + 6 = 0$ равны $x_1 = 1$ и $x_2 = 6$. Решение неравенства: $x \in [1; 6]$.

Учитывая условие $x \ge \frac{3}{4}$, решение для этого случая: $[1; 6]$.

Случай 2: $4x - 3 < 0$, то есть $x < \frac{3}{4}$.

Неравенство принимает вид:

$-(4x - 3) \ge x^2 - 3x + 3$

$-4x + 3 \ge x^2 - 3x + 3$

$0 \ge x^2 + x$

$x(x + 1) \le 0$

Корни уравнения $x(x+1)=0$ равны $x_1 = -1$ и $x_2 = 0$. Решение неравенства: $x \in [-1; 0]$.

Учитывая условие $x < \frac{3}{4}$, решение для этого случая: $[-1; 0]$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем итоговый ответ.

Ответ: $[-1; 0] \cup [1; 6]$.

5) $|3x - 2|x < 1$

Рассмотрим два случая в зависимости от знака выражения под модулем. Точка смены знака: $3x - 2 = 0 \implies x = \frac{2}{3}$.

Случай 1: $x \ge \frac{2}{3}$.

Тогда $|3x - 2| = 3x - 2$, и неравенство имеет вид:

$(3x - 2)x < 1$

$3x^2 - 2x - 1 < 0$

Корни уравнения $3x^2 - 2x - 1 = 0$ равны $x_1 = -\frac{1}{3}$ и $x_2 = 1$. Решение неравенства: $x \in (-\frac{1}{3}; 1)$.

С учетом условия $x \ge \frac{2}{3}$, получаем решение для этого случая: $x \in [\frac{2}{3}; 1)$.

Случай 2: $x < \frac{2}{3}$.

Тогда $|3x - 2| = -(3x - 2) = 2 - 3x$, и неравенство имеет вид:

$(2 - 3x)x < 1$

$2x - 3x^2 < 1$

$0 < 3x^2 - 2x + 1$

Дискриминант квадратного трехчлена $3x^2 - 2x + 1$ равен $D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = -8 < 0$. Так как $D<0$ и старший коэффициент $a=3 > 0$, трехчлен всегда положителен. Значит, неравенство верно для всех $x$.

Решением в этом случае будут все значения, удовлетворяющие условию $x < \frac{2}{3}$, то есть $x \in (-\infty; \frac{2}{3})$.

Объединяем решения из двух случаев: $(-\infty; \frac{2}{3}) \cup [\frac{2}{3}; 1)$.

Ответ: $(-\infty; 1)$.

6) $|x - 4|(x + 2) \ge 4x$

Рассмотрим два случая раскрытия модуля.

Случай 1: $x - 4 \ge 0$, то есть $x \ge 4$.

Неравенство принимает вид:

$(x - 4)(x + 2) \ge 4x$

$x^2 - 2x - 8 \ge 4x$

$x^2 - 6x - 8 \ge 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 6x - 8 = 0$ по формуле: $x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4(-8)}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{68}}{2} = 3 \pm \sqrt{17}$.

Решение неравенства: $x \in (-\infty; 3 - \sqrt{17}] \cup [3 + \sqrt{17}; +\infty)$.

Учитывая, что $4 < \sqrt{17} < 5$, имеем $3 - \sqrt{17} < 0$ и $3 + \sqrt{17} > 7$. Пересекая с условием $x \ge 4$, получаем $x \in [3 + \sqrt{17}; +\infty)$.

Случай 2: $x - 4 < 0$, то есть $x < 4$.

Неравенство принимает вид:

$-(x - 4)(x + 2) \ge 4x$

$(4 - x)(x + 2) \ge 4x$

$-x^2 + 2x + 8 \ge 4x$

$0 \ge x^2 + 2x - 8$

$x^2 + 2x - 8 \le 0$

Корни уравнения $x^2 + 2x - 8 = 0$ равны $x_1 = -4$ и $x_2 = 2$. Решение неравенства: $x \in [-4; 2]$.

Пересекая с условием $x < 4$, получаем $x \in [-4; 2]$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем итоговый ответ.

Ответ: $[-4; 2] \cup [3 + \sqrt{17}; +\infty)$.