Номер 8.19, страница 86 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 8. Решение квадратных неравенств - номер 8.19, страница 86.

Условие.

8.19. Найдите область определения функции:

1) $y = \sqrt{20 + 4x - 3x^2} + \frac{3}{\sqrt{8 - 4x}}$;

2) $y = \frac{x + 5}{\sqrt{35 + 2x - x^2}} + \frac{x - 1}{|x| - 6}$.

Решение.

1)

Область определения функции $y = \sqrt{20 + 4x - 3x^2} + \frac{3}{\sqrt{8 - 4x}}$ находится из системы условий, так как функция состоит из двух слагаемых, и каждое из них должно иметь смысл.

1. Выражение под первым квадратным корнем должно быть неотрицательным: $20 + 4x - 3x^2 \ge 0$.

2. Выражение под вторым квадратным корнем, находящимся в знаменателе, должно быть строго положительным: $8 - 4x > 0$.

Получаем систему неравенств:

$\begin{cases} -3x^2 + 4x + 20 \ge 0 \\ 8 - 4x > 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $-3x^2 + 4x + 20 \ge 0$.

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный: $3x^2 - 4x - 20 \le 0$.

Найдем корни квадратного трехчлена $3x^2 - 4x - 20$, решив уравнение $3x^2 - 4x - 20 = 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-20) = 16 + 240 = 256 = 16^2$.
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - 16}{2 \cdot 3} = \frac{-12}{6} = -2$.
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + 16}{2 \cdot 3} = \frac{20}{6} = \frac{10}{3}$.

Так как ветви параболы $y=3x^2 - 4x - 20$ направлены вверх, неравенство $3x^2 - 4x - 20 \le 0$ выполняется на промежутке между корнями: $x \in [-2; \frac{10}{3}]$.

Решим второе неравенство: $8 - 4x > 0$.
$8 > 4x$
$2 > x$, то есть $x < 2$.

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств: $\begin{cases} -2 \le x \le \frac{10}{3} \\ x < 2 \end{cases}$.

Пересечением этих двух множеств является промежуток $[-2; 2)$.

Ответ: $[-2; 2)$.

2)

Область определения функции $y = \frac{x+5}{\sqrt{35+2x-x^2}} + \frac{x-1}{|x|-6}$ находится из системы условий.

1. Выражение под квадратным корнем в знаменателе первого слагаемого должно быть строго положительным: $35 + 2x - x^2 > 0$.

2. Знаменатель второго слагаемого не должен быть равен нулю: $|x| - 6 \ne 0$.

Получаем систему:

$\begin{cases} 35 + 2x - x^2 > 0 \\ |x| - 6 \ne 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $35 + 2x - x^2 > 0$.

Умножим на -1 и изменим знак неравенства: $x^2 - 2x - 35 < 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - 2x - 35 = 0$.
По теореме Виета, сумма корней равна 2, а произведение равно -35. Корни: $x_1 = -5$ и $x_2 = 7$.
Так как ветви параболы $y=x^2-2x-35$ направлены вверх, неравенство $x^2 - 2x - 35 < 0$ выполняется на интервале между корнями: $x \in (-5; 7)$.

Решим второе условие: $|x| - 6 \ne 0$.
$|x| \ne 6$
Это означает, что $x \ne 6$ и $x \ne -6$.

Теперь объединим все условия. Необходимо найти значения $x$, которые удовлетворяют одновременно условиям $x \in (-5; 7)$, $x \ne 6$ и $x \ne -6$.

Значение $x = -6$ не входит в интервал $(-5; 7)$, поэтому его исключать не нужно.

Значение $x = 6$ входит в интервал $(-5; 7)$, поэтому его необходимо исключить.

Таким образом, область определения функции — это интервал $(-5; 7)$ с "выколотой" точкой 6. Это можно записать как объединение двух интервалов.

Ответ: $(-5; 6) \cup (6; 7)$.