Номер 8.20, страница 86 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 8. Решение квадратных неравенств - номер 8.20, страница 86.

Условие.

8.20. Найдите множество решений неравенства:

1) $x^2 - 8|x| - 33 < 0;$

2) $8x^2 + 7|x| - 1 \ge 0;$

3) $x^2 - 8|x| + 15 \le 0;$

4) $4x^2 - 5|x| + 1 > 0.$

Решение.

1) $x^2 - 8|x| - 33 < 0$
Поскольку $x^2 = |x|^2$, мы можем сделать замену переменной. Пусть $t = |x|$, при этом необходимо учесть, что $t \ge 0$.
Неравенство принимает вид: $t^2 - 8t - 33 < 0$.
Чтобы решить это квадратное неравенство, найдем корни соответствующего уравнения $t^2 - 8t - 33 = 0$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-33) = 64 + 132 = 196 = 14^2$.
Найдем корни: $t_1 = \frac{8 - 14}{2} = -3$ и $t_2 = \frac{8 + 14}{2} = 11$.
Так как ветви параболы $y = t^2 - 8t - 33$ направлены вверх, решение неравенства $t^2 - 8t - 33 < 0$ находится между корнями: $-3 < t < 11$.
Теперь учтем условие $t \ge 0$. Совмещая с найденным интервалом, получаем $0 \le t < 11$.
Возвращаемся к исходной переменной $x$: $0 \le |x| < 11$.
Неравенство $|x| \ge 0$ верно для любого $x$, поэтому остается решить $|x| < 11$.
Это неравенство равносильно двойному неравенству $-11 < x < 11$.
Таким образом, множество решений — это интервал $(-11; 11)$.
Ответ: $(-11; 11)$.

2) $8x^2 + 7|x| - 1 \ge 0$
Используя свойство $x^2 = |x|^2$, сделаем замену $t = |x|$, где $t \ge 0$.
Получаем квадратное неравенство: $8t^2 + 7t - 1 \ge 0$.
Найдем корни уравнения $8t^2 + 7t - 1 = 0$.
Дискриминант: $D = 7^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-1) = 49 + 32 = 81 = 9^2$.
Корни: $t_1 = \frac{-7 - 9}{16} = -1$ и $t_2 = \frac{-7 + 9}{16} = \frac{2}{16} = \frac{1}{8}$.
Ветви параболы $y = 8t^2 + 7t - 1$ направлены вверх, поэтому решение неравенства $8t^2 + 7t - 1 \ge 0$ находится за пределами корней, то есть $t \le -1$ или $t \ge \frac{1}{8}$.
Учитывая условие $t \ge 0$, решение $t \le -1$ не подходит. Остается $t \ge \frac{1}{8}$.
Делаем обратную замену: $|x| \ge \frac{1}{8}$.
Это неравенство равносильно совокупности: $x \ge \frac{1}{8}$ или $x \le -\frac{1}{8}$.
Множество решений в виде объединения интервалов: $(-\infty; -1/8] \cup [1/8; +\infty)$.
Ответ: $(-\infty; -\frac{1}{8}] \cup [\frac{1}{8}; +\infty)$.

3) $x^2 - 8|x| + 15 \le 0$
Пусть $t = |x|$, где $t \ge 0$. Неравенство примет вид: $t^2 - 8t + 15 \le 0$.
Найдем корни уравнения $t^2 - 8t + 15 = 0$.
По теореме Виета, корни $t_1 = 3$ и $t_2 = 5$ (так как $3+5=8$ и $3 \cdot 5 = 15$).
Ветви параболы $y = t^2 - 8t + 15$ направлены вверх, поэтому решение неравенства $t^2 - 8t + 15 \le 0$ находится между корнями: $3 \le t \le 5$.
Это решение полностью удовлетворяет условию $t \ge 0$.
Выполняем обратную замену: $3 \le |x| \le 5$.
Это двойное неравенство распадается на два случая: $3 \le x \le 5$ и $-5 \le x \le -3$.
Объединяя решения, получаем итоговое множество $x \in [-5; -3] \cup [3; 5]$.
Ответ: $[-5; -3] \cup [3; 5]$.

4) $4x^2 - 5|x| + 1 > 0$
Заменим $t = |x|$ ($t \ge 0$), так как $x^2 = |x|^2$. Получим неравенство: $4t^2 - 5t + 1 > 0$.
Найдем корни уравнения $4t^2 - 5t + 1 = 0$.
Дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 25 - 16 = 9 = 3^2$.
Корни: $t_1 = \frac{5 - 3}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$ и $t_2 = \frac{5 + 3}{8} = \frac{8}{8} = 1$.
Ветви параболы $y = 4t^2 - 5t + 1$ направлены вверх, поэтому решение неравенства $4t^2 - 5t + 1 > 0$ находится за пределами корней: $t < \frac{1}{4}$ или $t > 1$.
С учетом условия $t \ge 0$, получаем совокупность двух неравенств:
1) $0 \le t < \frac{1}{4}$
2) $t > 1$
Делаем обратную замену для каждого случая:
1) $0 \le |x| < \frac{1}{4}$, что равносильно $|x| < \frac{1}{4}$, то есть $-\frac{1}{4} < x < \frac{1}{4}$.
2) $|x| > 1$, что равносильно совокупности $x > 1$ или $x < -1$.
Объединяя все найденные интервалы, получаем итоговое множество решений.
Ответ: $(-\infty; -1) \cup (-\frac{1}{4}; \frac{1}{4}) \cup (1; +\infty)$.