Номер 8.25, страница 87 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 8. Решение квадратных неравенств - номер 8.25, страница 87.

Условие.

8.25. При каких значениях параметра $a$ не имеет решений неравенство:

1) $$-x^2 + 6x - a > 0;$$

2) $$x^2 - (a + 1)x + 3a - 5 < 0;$$

3) $$ax^2 + (a - 1)x + (a - 1) < 0;$$

4) $$(a + 4)x^2 - 2ax + 2a - 6 < 0?$$

Решение.

1) Неравенство $-x^2 + 6x - a > 0$ не имеет решений, если соответствующее ему неравенство $-x^2 + 6x - a \le 0$ выполняется для всех действительных значений $x$.

Левая часть неравенства представляет собой квадратичную функцию $y = -x^2 + 6x - a$. Её график — парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицателен ($-1 < 0$).

Для того чтобы парабола была полностью расположена не выше оси абсцисс ($y \le 0$), её дискриминант $D$ должен быть меньше или равен нулю. Если $D \le 0$, парабола не имеет точек пересечения с осью $Ox$ (если $D < 0$) или касается её в одной точке (если $D = 0$), что удовлетворяет условию $y \le 0$ для всех $x$.

Найдём дискриминант квадратного трёхчлена $-x^2 + 6x - a$:

$D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4(-1)(-a) = 36 - 4a$.

Решим неравенство $D \le 0$:

$36 - 4a \le 0$

$36 \le 4a$

$a \ge 9$

Таким образом, при $a \ge 9$ исходное неравенство не имеет решений.

Ответ: $a \in [9; +\infty)$.

2) Неравенство $x^2 - (a + 1)x + 3a - 5 < 0$ не имеет решений, если неравенство $x^2 - (a + 1)x + 3a - 5 \ge 0$ выполняется для всех действительных значений $x$.

График функции $y = x^2 - (a + 1)x + 3a - 5$ — парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($1 > 0$).

Для того чтобы парабола была полностью расположена не ниже оси абсцисс ($y \ge 0$), её дискриминант $D$ должен быть меньше или равен нулю.

Найдём дискриминант:

$D = (-(a + 1))^2 - 4(1)(3a - 5) = (a + 1)^2 - 12a + 20 = a^2 + 2a + 1 - 12a + 20 = a^2 - 10a + 21$.

Решим неравенство $D \le 0$:

$a^2 - 10a + 21 \le 0$.

Найдём корни уравнения $a^2 - 10a + 21 = 0$. По теореме Виета, $a_1 = 3$, $a_2 = 7$.

Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство $a^2 - 10a + 21 \le 0$ выполняется между корнями.

$3 \le a \le 7$.

Ответ: $a \in [3; 7]$.

3) Рассмотрим неравенство $ax^2 + (a - 1)x + (a - 1) < 0$.

Оно не будет иметь решений, если для всех $x$ выполняется неравенство $ax^2 + (a - 1)x + (a - 1) \ge 0$.

Рассмотрим несколько случаев.

Случай 1: $a = 0$.

Неравенство принимает вид $0 \cdot x^2 + (0 - 1)x + (0 - 1) < 0$, то есть $-x - 1 < 0$, откуда $x > -1$. Это неравенство имеет решения, значит $a = 0$ не является ответом.

Случай 2: $a \neq 0$.

Неравенство $ax^2 + (a - 1)x + (a - 1) \ge 0$ выполняется для всех $x$ только в том случае, если график функции $y = ax^2 + (a - 1)x + (a - 1)$ является параболой, ветви которой направлены вверх и которая не пересекает ось $Ox$ или касается её в одной точке. Это требует выполнения двух условий одновременно:

1. Коэффициент при $x^2$ должен быть положительным: $a > 0$.

2. Дискриминант должен быть неположительным: $D \le 0$.

Найдём дискриминант:

$D = (a - 1)^2 - 4a(a - 1) = (a - 1)(a - 1 - 4a) = (a - 1)(-3a - 1)$.

Решим неравенство $D \le 0$:

$(a - 1)(-3a - 1) \le 0$.

$-(a - 1)(3a + 1) \le 0$.

$(a - 1)(3a + 1) \ge 0$.

Корни уравнения $(a - 1)(3a + 1) = 0$ равны $a = 1$ и $a = -1/3$. Решением неравенства является объединение промежутков $(-\infty; -1/3] \cup [1; +\infty)$.

Теперь найдём пересечение полученного решения с условием $a > 0$.

$a \in ((-\infty; -1/3] \cup [1; +\infty)) \cap (0; +\infty)$, что даёт $a \ge 1$.

Если $a < 0$, то ветви параболы направлены вниз, и неравенство $ax^2 + (a - 1)x + (a - 1) < 0$ всегда будет иметь решения.

Ответ: $a \in [1; +\infty)$.

4) Рассмотрим неравенство $(a + 4)x^2 - 2ax + 2a - 6 < 0$.

Оно не имеет решений, если для всех $x$ выполняется неравенство $(a + 4)x^2 - 2ax + 2a - 6 \ge 0$.

Рассмотрим случаи.

Случай 1: $a + 4 = 0$, то есть $a = -4$.

Неравенство принимает вид $0 \cdot x^2 - 2(-4)x + 2(-4) - 6 < 0$, то есть $8x - 14 < 0$, откуда $x < 7/4$. Неравенство имеет решения, значит $a = -4$ не подходит.

Случай 2: $a + 4 \neq 0$.

Неравенство $(a + 4)x^2 - 2ax + 2a - 6 \ge 0$ должно выполняться для всех $x$. Это возможно только если ветви параболы направлены вверх и она не находится ниже оси абсцисс. Это означает, что должны выполняться два условия:

1. $a + 4 > 0 \implies a > -4$.

2. $D \le 0$.

Найдём дискриминант (удобнее использовать $D/4$):

$D/4 = (-a)^2 - (a + 4)(2a - 6) = a^2 - (2a^2 - 6a + 8a - 24) = a^2 - (2a^2 + 2a - 24) = -a^2 - 2a + 24$.

Решим неравенство $D/4 \le 0$:

$-a^2 - 2a + 24 \le 0$.

$a^2 + 2a - 24 \ge 0$.

Найдём корни уравнения $a^2 + 2a - 24 = 0$.

$a_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(1)(-24)}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 96}}{2} = \frac{-2 \pm 10}{2}$.

$a_1 = -6$, $a_2 = 4$.

Решением неравенства $a^2 + 2a - 24 \ge 0$ является $a \in (-\infty; -6] \cup [4; +\infty)$.

Теперь найдём пересечение этого решения с условием $a > -4$.

$a \in ((-\infty; -6] \cup [4; +\infty)) \cap (-4; +\infty)$, что даёт $a \ge 4$.

Если $a + 4 < 0$, то ветви параболы направлены вниз, и исходное неравенство $(a + 4)x^2 - 2ax + 2a - 6 < 0$ всегда будет иметь решения.

Ответ: $a \in [4; +\infty)$.