Номер 8.30, страница 87 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 8. Решение квадратных неравенств - номер 8.30, страница 87.

Условие.

8.30. Для каждого значения параметра $a$ решите систему неравенств:

1) $\begin{cases} x^2 - x - 72 < 0, \\ x > a; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x^2 - 9x + 8 > 0, \\ x < a. \end{cases}$

Решение.

1)

Решим систему неравенств: $ \begin{cases} x^2 - x - 72 < 0, \\ x > a. \end{cases} $

Сначала решим первое неравенство $x^2 - x - 72 < 0$. Для этого найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - x - 72$.

Решим уравнение $x^2 - x - 72 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-72) = 1 + 288 = 289 = 17^2$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 17}{2} = -8$ и $x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 17}{2} = 9$.

Так как коэффициент при $x^2$ положителен (ветви параболы направлены вверх), неравенство $x^2 - x - 72 < 0$ выполняется между корнями. Таким образом, решение первого неравенства: $x \in (-8, 9)$.

Теперь необходимо найти решение системы, то есть пересечение множеств $x \in (-8, 9)$ и $x > a$. Это эквивалентно нахождению пересечения интервалов $(-8, 9)$ и $(a, +\infty)$.

Рассмотрим различные случаи расположения точки $a$ относительно интервала $(-8, 9)$:

1. Если $a \ge 9$, то интервал $(a, +\infty)$ не имеет общих точек с интервалом $(-8, 9)$. В этом случае система не имеет решений.

2. Если $-8 \le a < 9$, то пересечением интервалов $(-8, 9)$ и $(a, +\infty)$ является интервал $(a, 9)$. Решением системы будет $x \in (a, 9)$.

3. Если $a < -8$, то интервал $(-8, 9)$ полностью содержится в интервале $(a, +\infty)$. Их пересечением будет интервал $(-8, 9)$. Решением системы будет $x \in (-8, 9)$.

Ответ: если $a < -8$, то $x \in (-8, 9)$; если $-8 \le a < 9$, то $x \in (a, 9)$; если $a \ge 9$, то решений нет.

2)

Решим систему неравенств: $ \begin{cases} x^2 - 9x + 8 > 0, \\ x < a. \end{cases} $

Сначала решим первое неравенство $x^2 - 9x + 8 > 0$. Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 9x + 8$.

Решим уравнение $x^2 - 9x + 8 = 0$.

По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = 8$ (так как $1+8=9$ и $1 \cdot 8=8$).

Так как коэффициент при $x^2$ положителен (ветви параболы направлены вверх), неравенство $x^2 - 9x + 8 > 0$ выполняется за пределами корней. Таким образом, решение первого неравенства: $x \in (-\infty, 1) \cup (8, +\infty)$.

Теперь необходимо найти решение системы, то есть пересечение множества $(-\infty, 1) \cup (8, +\infty)$ с интервалом $(-\infty, a)$.

Рассмотрим различные случаи расположения точки $a$ относительно корней $1$ и $8$:

1. Если $a \le 1$, то интервал $(-\infty, a)$ целиком содержится в интервале $(-\infty, 1)$. Их пересечение (и, следовательно, решение системы) есть интервал $(-\infty, a)$.

2. Если $1 < a \le 8$, то интервал $(-\infty, a)$ полностью включает в себя интервал $(-\infty, 1)$, но не имеет общих точек с интервалом $(8, +\infty)$. В этом случае пересечением будет интервал $(-\infty, 1)$.

3. Если $a > 8$, то интервал $(-\infty, a)$ включает в себя интервал $(-\infty, 1)$ и часть интервала $(8, +\infty)$, а именно $(8, a)$. Пересечением будет объединение $(-\infty, 1) \cup (8, a)$.

Ответ: если $a \le 1$, то $x \in (-\infty, a)$; если $1 < a \le 8$, то $x \in (-\infty, 1)$; если $a > 8$, то $x \in (-\infty, 1) \cup (8, a)$.