Номер 8.36, страница 88 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 8. Решение квадратных неравенств - номер 8.36, страница 88.

Условие.

8.36. Известно, что $b^2 - 4ac < 0$ и $a + c > b$. Решите квадратное неравенство $ax^2 + bx + c \le 0$.

Решение.

Рассмотрим квадратичную функцию $f(x) = ax^2 + bx + c$. Требуется решить неравенство $f(x) \le 0$.

Проанализируем данные условия:

1. Известно, что $b^2 - 4ac < 0$. Выражение $b^2 - 4ac$ является дискриминантом ($D$) квадратного трехчлена $ax^2 + bx + c$. Так как $D < 0$, это означает, что у квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ нет действительных корней. Геометрически это означает, что график функции $y = ax^2 + bx + c$ (парабола) не пересекает ось абсцисс (ось Ox) и не касается ее.

Следовательно, парабола целиком расположена либо выше оси Ox (если ее ветви направлены вверх, то есть $a > 0$), либо ниже оси Ox (если ее ветви направлены вниз, то есть $a < 0$). В любом случае, знак выражения $ax^2 + bx + c$ постоянен для всех действительных значений $x$ и совпадает со знаком коэффициента $a$.

2. Известно, что $a + c > b$. Преобразуем это неравенство, перенеся $b$ в левую часть: $a - b + c > 0$.

Заметим, что левая часть этого неравенства является значением функции $f(x)$ в точке $x = -1$:
$f(-1) = a(-1)^2 + b(-1) + c = a - b + c$.

Таким образом, из условия $a + c > b$ следует, что $f(-1) > 0$.

Теперь объединим выводы. Мы знаем, что функция $f(x) = ax^2 + bx + c$ сохраняет свой знак для всех $x$. Также мы знаем, что существует хотя бы одна точка ($x = -1$), в которой значение функции положительно. Это означает, что функция положительна при всех действительных значениях $x$.

Итак, мы установили, что $ax^2 + bx + c > 0$ для любого $x \in \mathbb{R}$.

Необходимо решить неравенство $ax^2 + bx + c \le 0$. Поскольку выражение $ax^2 + bx + c$ всегда строго больше нуля, оно никогда не может быть меньше или равно нулю. Следовательно, данное неравенство не имеет решений.

Ответ: решений нет (или $x \in \emptyset$).