Номер 8.33, страница 87 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 8. Решение квадратных неравенств - номер 8.33, страница 87.

Условие.

8.33. При каких значениях параметра $a$ из неравенства $x^2 - x < 0$ следует неравенство $x^2 - (2a + 3)x + a^2 + 3a < 0$?

Решение.

Условие, что из неравенства $x^2 - x < 0$ следует неравенство $x^2 - (2a + 3)x + a^2 + 3a \le 0$, означает, что множество решений первого неравенства (обозначим его $M$) должно быть подмножеством множества решений второго неравенства (обозначим его $N$). То есть, должно выполняться условие $M \subseteq N$.

Сначала найдем множество решений $M$ для неравенства $x^2 - x < 0$.
Разложим левую часть на множители: $x(x - 1) < 0$.
Корни уравнения $x(x-1)=0$ — это $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$.
Графиком функции $y = x^2 - x$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, неравенство выполняется на интервале между корнями.
Таким образом, множество решений $M = (0; 1)$.

Теперь найдем множество решений $N$ для неравенства $x^2 - (2a + 3)x + a^2 + 3a \le 0$.
Это квадратное неравенство относительно переменной $x$. Найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - (2a + 3)x + a^2 + 3a = 0$, вычислив дискриминант:
$D = (-(2a + 3))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a^2 + 3a) = (4a^2 + 12a + 9) - (4a^2 + 12a) = 9$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{2a + 3 - \sqrt{9}}{2} = \frac{2a + 3 - 3}{2} = a$.
$x_2 = \frac{2a + 3 + \sqrt{9}}{2} = \frac{2a + 6}{2} = a + 3$.
Графиком функции $y = x^2 - (2a + 3)x + a^2 + 3a$ также является парабола с ветвями вверх. Неравенство $\le 0$ выполняется на отрезке между корнями. Так как $a < a + 3$ при любом $a$, то множество решений $N = [a; a + 3]$.

Для выполнения условия $M \subseteq N$, то есть $(0; 1) \subseteq [a; a + 3]$, необходимо и достаточно, чтобы левая граница отрезка $N$ была меньше или равна левой границе интервала $M$, а правая граница отрезка $N$ была больше или равна правой границе интервала $M$.
Это приводит к системе неравенств:
$\begin{cases} a \le 0 \\ a + 3 \ge 1 \end{cases}$
Решаем систему:
$\begin{cases} a \le 0 \\ a \ge 1 - 3 \end{cases}$
$\begin{cases} a \le 0 \\ a \ge -2 \end{cases}$
Пересечением этих условий является отрезок $a \in [-2; 0]$.

Ответ: $a \in [-2; 0]$.