Номер 8.40, страница 88 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 8. Решение квадратных неравенств - номер 8.40, страница 88.

Условие.

8.40. Известно, что $a(a + b + c) < 0$. Докажите, что $b^2 > 4ac$.

Решение.

Для доказательства требуемого неравенства рассмотрим квадратичную функцию $f(x) = ax^2 + bx + c$. Графиком этой функции является парабола.

Неравенство, которое необходимо доказать, $b^2 > 4ac$, можно переписать в виде $b^2 - 4ac > 0$. Выражение $D = b^2 - 4ac$ является дискриминантом квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$. Положительность дискриминанта ($D > 0$) означает, что данное квадратное уравнение имеет два различных действительных корня. Геометрически это означает, что парабола $y = f(x)$ пересекает ось абсцисс (Ox) в двух различных точках.

Обратимся к условию задачи: $a(a+b+c) < 0$.

Заметим, что выражение $a+b+c$ является значением функции $f(x)$ при $x=1$: $f(1) = a \cdot 1^2 + b \cdot 1 + c = a+b+c$.

Таким образом, условие задачи можно записать в виде $a \cdot f(1) < 0$.

Это неравенство выполняется тогда и только тогда, когда числа $a$ и $f(1)$ имеют противоположные знаки. Рассмотрим два возможных случая.

Случай 1: $a > 0$ и $f(1) < 0$.
Если старший коэффициент $a > 0$, то ветви параболы $y = f(x)$ направлены вверх. Условие $f(1) < 0$ означает, что существует точка на параболе (при $x=1$), которая лежит ниже оси Ox. Поскольку парабола с ветвями вверх имеет точку ниже оси Ox, ее вершина (точка минимума) также должна находиться ниже оси Ox. Такая парабола, уходящая вверх в бесконечность, обязательно пересечет ось Ox в двух различных точках. Это означает, что уравнение $f(x)=0$ имеет два различных действительных корня, а значит, его дискриминант $D = b^2 - 4ac > 0$.

Случай 2: $a < 0$ и $f(1) > 0$.
Если старший коэффициент $a < 0$, то ветви параболы $y = f(x)$ направлены вниз. Условие $f(1) > 0$ означает, что существует точка на параболе (при $x=1$), которая лежит выше оси Ox. Поскольку парабола с ветвями вниз имеет точку выше оси Ox, ее вершина (точка максимума) также должна находиться выше оси Ox. Такая парабола, уходящая вниз в бесконечность, обязательно пересечет ось Ox в двух различных точках. Это также означает, что уравнение $f(x)=0$ имеет два различных действительных корня, и его дискриминант $D = b^2 - 4ac > 0$.

В обоих случаях мы пришли к выводу, что $b^2 - 4ac > 0$, что эквивалентно неравенству $b^2 > 4ac$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.