Вопросы?, страница 94 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 9. Решение неравенств методом интервалов - страница 94.

Условие.

1. Каким свойством обладает функция, непрерывная на промежутке и не имеющая на нём нулей?

2. Укажите множество, на котором непрерывна функция $y = \frac{f(x)}{g(x)}$, где $f(x)$ и $g(x)$ — многочлены.

Решение.

1. Такая функция обладает свойством знакопостоянства.
Это является следствием теоремы о промежуточном значении (теорема Больцано-Коши). Если бы непрерывная на промежутке функция принимала значения разных знаков (то есть и положительное, и отрицательное), то она обязательно должна была бы пересечь ось абсцисс, то есть обратиться в ноль в некоторой точке этого промежутка.
Поскольку по условию нулей у функции нет, она не может принимать значения разных знаков. Следовательно, на всём промежутке функция либо строго положительна ( $f(x) > 0$ ), либо строго отрицательна ( $f(x) < 0$ ).
Ответ: Свойство знакопостоянства (функция сохраняет свой знак на всем промежутке).

2. Функция вида $y = \frac{f(x)}{g(x)}$, где $f(x)$ и $g(x)$ — многочлены, называется рациональной функцией.
Поскольку любой многочлен является функцией, непрерывной на всей числовой оси (то есть при $x \in \mathbb{R}$), то и функции $f(x)$ и $g(x)$ непрерывны всюду.
Частное двух непрерывных функций является непрерывной функцией во всех точках, где знаменатель не равен нулю.
Следовательно, функция $y = \frac{f(x)}{g(x)}$ будет непрерывна на множестве всех действительных чисел $x$, за исключением тех точек, в которых знаменатель $g(x)$ обращается в ноль.
Таким образом, множество, на котором непрерывна данная функция, определяется условием $g(x) \neq 0$.
Ответ: Множество всех действительных чисел $x$, для которых $g(x) \neq 0$.