Номер 8.44, страница 88 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 8. Решение квадратных неравенств - номер 8.44, страница 88.

Условие.

8.44. Известно, что $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $3x^2 - 4x - 2 = 0$. Не решая уравнения, найдите значение выражения $|x_2 - x_1|$.

Решение.

Чтобы найти значение выражения $|x_2 - x_1|$, не решая уравнение $3x^2 - 4x - 2 = 0$, воспользуемся теоремой Виета. Для квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ справедливы следующие соотношения:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -b/a$
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = c/a$

Для данного уравнения $3x^2 - 4x - 2 = 0$ коэффициенты равны $a=3$, $b=-4$, $c=-2$.

Найдем сумму и произведение его корней:
$x_1 + x_2 = -(-4)/3 = 4/3$
$x_1 \cdot x_2 = -2/3$

Теперь преобразуем искомое выражение. Заметим, что $|x_2 - x_1| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2}$. Выразим квадрат разности корней через их сумму и произведение:
$(x_2 - x_1)^2 = x_2^2 - 2x_1x_2 + x_1^2$
Чтобы использовать известные нам величины, добавим и вычтем $2x_1x_2$:
$x_1^2 - 2x_1x_2 + x_2^2 = (x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2) - 4x_1x_2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2$

Теперь мы можем подставить значения суммы и произведения корней, которые мы нашли ранее:
$(x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2 = (4/3)^2 - 4 \cdot (-2/3) = 16/9 + 8/3$

Приведем дроби к общему знаменателю и сложим их:
$16/9 + 8/3 = 16/9 + (8 \cdot 3)/(3 \cdot 3) = 16/9 + 24/9 = 40/9$

Мы получили, что $(x_2 - x_1)^2 = 40/9$. Теперь найдем значение модуля разности:
$|x_2 - x_1| = \sqrt{40/9} = \frac{\sqrt{40}}{\sqrt{9}} = \frac{\sqrt{4 \cdot 10}}{3} = \frac{2\sqrt{10}}{3}$

Ответ: $\frac{2\sqrt{10}}{3}$