Номер 8.39, страница 88 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 8. Решение квадратных неравенств - номер 8.39, страница 88.

Условие.

8.39. Известно, что $(a+b+c)(a-b+c) < 0$. Докажите, что $b^2 > 4ac$.

Решение.

Начнем с преобразования выражения, данного в условии задачи. Перегруппируем слагаемые в скобках:

$(a + b + c)(a - b + c) = ((a + c) + b)((a + c) - b)$

Это выражение представляет собой разность квадратов. Применим соответствующую формулу $(x + y)(x - y) = x^2 - y^2$, где $x = a + c$ и $y = b$:

$((a + c) + b)((a + c) - b) = (a + c)^2 - b^2$

По условию задачи, исходное выражение меньше нуля:

$(a + c)^2 - b^2 < 0$

Перенесем $b^2$ в правую часть неравенства:

$(a + c)^2 < b^2$

Раскроем скобки в левой части:

$a^2 + 2ac + c^2 < b^2$

Таким образом, мы получили, что $b^2 > a^2 + 2ac + c^2$.

Теперь рассмотрим выражение $(a - c)^2$. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, поэтому:

$(a - c)^2 \geq 0$

Раскроем скобки:

$a^2 - 2ac + c^2 \geq 0$

Прибавим к обеим частям этого неравенства $4ac$:

$a^2 - 2ac + c^2 + 4ac \geq 4ac$

$a^2 + 2ac + c^2 \geq 4ac$

Теперь мы имеем два неравенства:

1. $b^2 > a^2 + 2ac + c^2$

2. $a^2 + 2ac + c^2 \geq 4ac$

Используя свойство транзитивности для неравенств, объединяем их:

$b^2 > a^2 + 2ac + c^2 \geq 4ac$

Из этого следует, что $b^2 > 4ac$, что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство $b^2 > 4ac$ доказано.