Номер 8.41, страница 88 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 8. Решение квадратных неравенств - номер 8.41, страница 88.

Условие.

8.41. Решите уравнение $x^2 - 8\lfloor x \rfloor + 7 = 0$.

Решение.

В уравнении $x^2 - 8[x] + 7 = 0$ обозначим $[x] = n$, где $n$ — целое число ($n \in \mathbb{Z}$). По определению целой части числа, для $x$ и $n$ справедливо неравенство $n \le x < n+1$.

После подстановки $n$ в исходное уравнение оно принимает вид $x^2 - 8n + 7 = 0$. Отсюда можно выразить $x^2$:

$x^2 = 8n - 7$

Поскольку левая часть уравнения $x^2$ всегда неотрицательна ($x^2 \ge 0$), то и правая часть должна быть неотрицательной: $8n - 7 \ge 0$, что означает $n \ge \frac{7}{8}$. Так как $n$ — целое число, то наименьшее возможное значение для $n$ равно 1, то есть $n \ge 1$.

Из условия $n = [x] \ge 1$ следует, что $x \ge 1$. Следовательно, $x$ — положительное число.

Теперь мы можем использовать неравенство $n \le x < n+1$. Так как все части этого неравенства положительны ($n \ge 1$, $x \ge 1$), мы можем возвести их в квадрат, сохранив знаки неравенства:

$n^2 \le x^2 < (n+1)^2$

Подставим в это двойное неравенство полученное ранее выражение $x^2 = 8n - 7$:

$n^2 \le 8n - 7 < (n+1)^2$

Это двойное неравенство эквивалентно системе из двух неравенств:

1) $n^2 \le 8n - 7$

2) $8n - 7 < (n+1)^2$

Решим каждое неравенство относительно $n$.

Для первого неравенства: $n^2 - 8n + 7 \le 0$. Корнями квадратного уравнения $n^2 - 8n + 7 = 0$ являются $n_1 = 1$ и $n_2 = 7$. Так как это парабола с ветвями вверх, решение неравенства находится между корнями: $1 \le n \le 7$.

Для второго неравенства: $8n - 7 < n^2 + 2n + 1$, что преобразуется к виду $n^2 - 6n + 8 > 0$. Корнями уравнения $n^2 - 6n + 8 = 0$ являются $n_1 = 2$ и $n_2 = 4$. Решением этого неравенства является объединение интервалов $n < 2$ или $n > 4$.

Теперь найдем целые значения $n$, которые удовлетворяют обоим условиям: $n \in [1, 7]$ и ($n < 2$ или $n > 4$). Целые числа из отрезка $[1, 7]$ — это $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$. Выбирая из них те, что меньше 2 или больше 4, получаем следующие возможные значения: $n \in \{1, 5, 6, 7\}$.

Для каждого из этих значений $n$ найдем соответствующее значение $x$ по формуле $x = \sqrt{8n-7}$ (выбираем положительный корень, так как $x>0$) и выполним проверку, подставляя найденное значение $x$ в условие $[x]=n$.

• Если $n=1$, то $x = \sqrt{8(1)-7} = \sqrt{1} = 1$. Проверка: $[1]=1$. Условие выполняется.
• Если $n=5$, то $x = \sqrt{8(5)-7} = \sqrt{33}$. Проверка: так как $25 < 33 < 36$, то $5 < \sqrt{33} < 6$, следовательно $[\sqrt{33}]=5$. Условие выполняется.
• Если $n=6$, то $x = \sqrt{8(6)-7} = \sqrt{41}$. Проверка: так как $36 < 41 < 49$, то $6 < \sqrt{41} < 7$, следовательно $[\sqrt{41}]=6$. Условие выполняется.
• Если $n=7$, то $x = \sqrt{8(7)-7} = \sqrt{49} = 7$. Проверка: $[7]=7$. Условие выполняется.

Все четыре найденных значения являются решениями исходного уравнения.

Ответ: $1; \sqrt{33}; \sqrt{41}; 7$.