Номер 8.38, страница 88 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 8. Решение квадратных неравенств - номер 8.38, страница 88.

Условие.

8.38. При каких значениях параметра a уравнение имеет единственное решение:

1) $\frac{x^2 - (5 + 2a)x + 10a}{\sqrt{x^2 - 4}} = 0;$

2) $\frac{x^2 - (2a + 2)x + 6a - 3}{\sqrt{2 + x - x^2}} = 0?$

Решение.

1) Исходное уравнение: $\frac{x^2 - (5 + 2a)x + 10a}{\sqrt{x^2 - 4}} = 0$.

Данное уравнение равносильно системе: $ \begin{cases} x^2 - (5 + 2a)x + 10a = 0, \\ x^2 - 4 > 0. \end{cases} $

Сначала решим неравенство, чтобы найти область допустимых значений (ОДЗ):
$x^2 - 4 > 0$
$x^2 > 4$
$x \in (-\infty, -2) \cup (2, +\infty)$.

Теперь решим уравнение (числитель дроби):
$x^2 - (5 + 2a)x + 10a = 0$.
Это квадратное уравнение относительно $x$. По теореме Виета, его корни $x_1$ и $x_2$ удовлетворяют условиям:
$x_1 + x_2 = 5 + 2a$
$x_1 \cdot x_2 = 10a$
Легко подобрать корни: $x_1 = 5$ и $x_2 = 2a$.

Теперь необходимо найти значения параметра $a$, при которых исходное уравнение имеет единственное решение. Это означает, что ровно один из корней числителя ($x_1=5$, $x_2=2a$) должен принадлежать ОДЗ.

Проверим корень $x_1 = 5$ на принадлежность ОДЗ:
$5 \in (-\infty, -2) \cup (2, +\infty)$, так как $5 > 2$.
Следовательно, $x = 5$ является решением уравнения при любом значении $a$.

Чтобы решение было единственным, нужно рассмотреть два случая.

Случай 1: Корни числителя совпадают.
$x_1 = x_2 \implies 5 = 2a \implies a = 2.5$.
При $a = 2.5$ числитель имеет один корень $x = 5$. Этот корень принадлежит ОДЗ, значит, при $a = 2.5$ исходное уравнение имеет единственное решение.

Случай 2: Корни числителя различны, но только один из них принадлежит ОДЗ.
Так как $x_1 = 5$ всегда принадлежит ОДЗ, нужно, чтобы второй корень $x_2 = 2a$ не принадлежал ОДЗ.
Условие $x_2 \notin (-\infty, -2) \cup (2, +\infty)$ равносильно условию $x_2 \in [-2, 2]$.
$-2 \le 2a \le 2$
$-1 \le a \le 1$
При $a \in [-1, 1]$ корень $x_2=2a$ не является решением, и единственным решением остается $x=5$. При этом в данном диапазоне $a \neq 2.5$, так что корни $x_1$ и $x_2$ различны.

Объединяя результаты обоих случаев, получаем, что уравнение имеет единственное решение при $a \in [-1, 1] \cup \{2.5\}$.

Ответ: $a \in [-1, 1] \cup \{2.5\}$.

2) Исходное уравнение: $\frac{x^2 - (2a + 2)x + 6a - 3}{\sqrt{2 + x - x^2}} = 0$.

Данное уравнение равносильно системе: $ \begin{cases} x^2 - (2a + 2)x + 6a - 3 = 0, \\ 2 + x - x^2 > 0. \end{cases} $

Сначала решим неравенство, чтобы найти область допустимых значений (ОДЗ):
$2 + x - x^2 > 0$
$x^2 - x - 2 < 0$
Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - x - 2 = 0$. По теореме Виета, корни равны $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.
Неравенство $(x - 2)(x + 1) < 0$ выполняется при $x \in (-1, 2)$. Это и есть ОДЗ.

Теперь решим уравнение (числитель дроби):
$x^2 - (2a + 2)x + 6a - 3 = 0$.
Найдем дискриминант $D$:
$D = (-(2a + 2))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (6a - 3) = (2(a+1))^2 - 4(6a-3) = 4(a^2 + 2a + 1) - 24a + 12 = 4a^2 + 8a + 4 - 24a + 12 = 4a^2 - 16a + 16 = 4(a^2 - 4a + 4) = 4(a-2)^2 = (2(a-2))^2$.
Найдем корни уравнения:
$x = \frac{2a + 2 \pm \sqrt{(2(a-2))^2}}{2} = \frac{2(a + 1) \pm 2(a - 2)}{2} = (a+1) \pm (a-2)$.
$x_1 = (a+1) + (a-2) = 2a - 1$
$x_2 = (a+1) - (a-2) = a + 1 - a + 2 = 3$.

Теперь необходимо найти значения параметра $a$, при которых исходное уравнение имеет единственное решение. Это означает, что ровно один из корней числителя ($x_1=2a-1$, $x_2=3$) должен принадлежать ОДЗ $x \in (-1, 2)$.

Проверим корень $x_2 = 3$ на принадлежность ОДЗ:
$3 \notin (-1, 2)$.
Следовательно, $x = 3$ никогда не является решением исходного уравнения.

Это означает, что для наличия единственного решения корень $x_1 = 2a - 1$ должен принадлежать ОДЗ, а также не должен совпадать с $x_2=3$ (хотя это не повлияет на ответ, так как $x_2$ все равно не в ОДЗ).

Итак, потребуем, чтобы $x_1 = 2a - 1$ принадлежал интервалу $(-1, 2)$:
$-1 < 2a - 1 < 2$
Прибавим 1 ко всем частям неравенства:
$0 < 2a < 3$
Разделим на 2:
$0 < a < 1.5$.

При $a \in (0, 1.5)$ корень $x_1=2a-1$ принадлежит ОДЗ, а корень $x_2=3$ - не принадлежит. Также при этих значениях $a$ корни не совпадают (они совпадают при $2a-1=3 \implies a=2$, что не входит в найденный интервал). Таким образом, при $a \in (0, 1.5)$ уравнение имеет ровно одно решение.

Ответ: $a \in (0, 1.5)$.