Номер 8.43, страница 88 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 8. Решение квадратных неравенств - номер 8.43, страница 88.

Условие.

8.43. Для каждого значения параметра $a$ решите уравнение $(x^2 + 4x - 5)(\sqrt{x-a}) = 0$.

Решение.

Исходное уравнение имеет вид $(x^2 + 4x - 5)(\sqrt{x} - a) = 0$.

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом существует (определен). Выражение $\sqrt{x}$ определено только при $x \ge 0$. Это является областью допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения.

Рассмотрим два случая, при которых произведение равно нулю, с учетом ОДЗ.

1. Первый множитель равен нулю:

$x^2 + 4x - 5 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни. По теореме Виета, сумма корней равна $-4$, а их произведение равно $-5$. Корнями являются $x_1 = 1$ и $x_2 = -5$.

Теперь необходимо проверить, удовлетворяют ли эти корни ОДЗ ($x \ge 0$).

Корень $x_1 = 1$ удовлетворяет условию $1 \ge 0$. При $x=1$ второй множитель $\sqrt{1}-a = 1-a$ определен при любом $a$. Значит, $x=1$ является решением исходного уравнения для любого значения параметра $a$.

Корень $x_2 = -5$ не удовлетворяет условию $-5 \ge 0$, поэтому он не является решением исходного уравнения ни при каком значении $a$.

2. Второй множитель равен нулю:

$\sqrt{x} - a = 0$

Отсюда получаем $\sqrt{x} = a$.

Поскольку арифметический квадратный корень $\sqrt{x}$ по определению является неотрицательной величиной ($\sqrt{x} \ge 0$), это уравнение может иметь решение только при $a \ge 0$.

Если $a < 0$, уравнение $\sqrt{x} = a$ не имеет решений.

Если $a \ge 0$, мы можем возвести обе части уравнения в квадрат, чтобы найти $x$:

$x = a^2$

Этот корень $x=a^2$ всегда удовлетворяет ОДЗ, так как $a^2 \ge 0$ при любом $a$. При этом значении $x$ первый множитель $(a^2)^2+4a^2-5$ всегда определен. Таким образом, $x=a^2$ является решением при $a \ge 0$.

3. Объединение результатов и анализ:

Теперь сведем все полученные результаты воедино, рассмотрев все возможные значения параметра $a$.

- Если $a < 0$:

Первый множитель дает корень $x=1$. Второй множитель не обращается в ноль. Таким образом, при $a < 0$ уравнение имеет единственное решение $x=1$.

- Если $a \ge 0$:

Первый множитель дает корень $x=1$. Второй множитель дает корень $x=a^2$. Оба корня являются решениями уравнения. Следует проверить, могут ли эти корни совпадать. Корни совпадают, если $1 = a^2$. Так как мы рассматриваем случай $a \ge 0$, это равенство выполняется только при $a=1$.

Разобьем этот случай на подслучаи:

- Если $a=1$, то оба множителя дают один и тот же корень $x=1$. Уравнение имеет единственное решение $x=1$.

- Если $a \ge 0$ и $a \neq 1$, то уравнение имеет два различных корня: $x=1$ и $x=a^2$.

Итоговый вывод:

Объединим полученные результаты в окончательный ответ.

Ответ: при $a < 0$ или $a = 1$, уравнение имеет один корень $x=1$; при $a \ge 0$ и $a \neq 1$, уравнение имеет два корня $x_1=1$ и $x_2=a^2$.