Номер 9.3, страница 94 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 9. Решение неравенств методом интервалов - номер 9.3, страница 94.

Условие.

9.3. Решите неравенство:

1) $(x-1)(x+3)^2(x-2) < 0;$

2) $|x-4|(x+1)(x-3) > 0;$

3) $(2x+3)(1-4x)^4(x-2)^3(x+6) < 0;$

4) $(1-3x)^3(x+2)^2(x-4)^5(x-3) > 0.$

Решение.

1)

Решим неравенство $(x - 1)(x + 3)^2(x - 2) < 0$ методом интервалов.

Сначала найдем корни левой части, приравняв ее к нулю: $(x - 1)(x + 3)^2(x - 2) = 0$. Корни: $x = 1$, $x = -3$, $x = 2$.

Множитель $(x + 3)^2$ всегда неотрицателен, так как имеет четную степень. Он равен нулю при $x = -3$ и положителен при всех остальных значениях $x$. Поскольку неравенство строгое ($< 0$), левая часть не может быть равна нулю, следовательно, $x \neq -3$.

При $x \neq -3$ множитель $(x + 3)^2$ положителен, и мы можем разделить на него обе части неравенства, сохранив знак. Неравенство становится эквивалентно системе:

$\begin{cases} (x - 1)(x - 2) < 0 \\ x \neq -3 \end{cases}$

Для решения неравенства $(x - 1)(x - 2) < 0$ рассмотрим функцию $y = (x - 1)(x - 2)$. Ее график — парабола с ветвями вверх, пересекающая ось Ox в точках $x = 1$ и $x = 2$. Значения функции отрицательны между корнями.

Таким образом, решением неравенства $(x - 1)(x - 2) < 0$ является интервал $(1, 2)$.

Условие $x \neq -3$ выполняется, так как точка $-3$ не принадлежит этому интервалу. Значит, решение исходного неравенства совпадает с решением упрощенного.

Ответ: $x \in (1, 2)$.

2)

Решим неравенство $|x - 4|(x + 1)(x - 3) > 0$.

Множитель $|x - 4|$ по определению модуля является неотрицательным, то есть $|x - 4| \ge 0$.

Поскольку неравенство строгое ($> 0$), левая часть не может быть равна нулю. Это означает, что каждый множитель должен быть отличен от нуля. В частности, $|x - 4| \neq 0$, откуда следует, что $x \neq 4$.

При $x \neq 4$ множитель $|x - 4|$ строго положителен. Мы можем разделить на него обе части неравенства, не меняя знака. Исходное неравенство эквивалентно системе:

$\begin{cases} (x + 1)(x - 3) > 0 \\ x \neq 4 \end{cases}$

Решим неравенство $(x + 1)(x - 3) > 0$. Корни соответствующего уравнения: $x = -1$ и $x = 3$. График функции $y = (x + 1)(x - 3)$ — парабола с ветвями вверх. Значения функции положительны вне интервала между корнями.

Следовательно, решение этого неравенства: $x \in (-\infty, -1) \cup (3, \infty)$.

Теперь учтем условие $x \neq 4$. Точка $x = 4$ принадлежит промежутку $(3, \infty)$, поэтому ее нужно исключить из решения. Для этого мы "разбиваем" промежуток $(3, \infty)$ на два интервала: $(3, 4)$ и $(4, \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -1) \cup (3, 4) \cup (4, \infty)$.

3)

Решим неравенство $(2x + 3)(1 - 4x)^4(x - 2)^3(x + 6) < 0$.

Используем метод интервалов. Найдем нули левой части: $x = -3/2$, $x = 1/4$, $x = 2$, $x = -6$.

Множитель $(1 - 4x)^4$ имеет четную степень, поэтому он всегда неотрицателен. Так как неравенство строгое, этот множитель не может быть равен нулю, значит $x \neq 1/4$. При всех $x \neq 1/4$ множитель $(1 - 4x)^4$ положителен, и на него можно разделить неравенство, сохранив знак.

Множитель $(x - 2)^3$ имеет нечетную степень, поэтому его знак совпадает со знаком выражения $(x - 2)$.

Таким образом, исходное неравенство эквивалентно системе:

$\begin{cases} (2x + 3)(x - 2)(x + 6) < 0 \\ x \neq 1/4 \end{cases}$

Решим неравенство $(2x + 3)(x - 2)(x + 6) < 0$. Корни: $x = -6$, $x = -3/2$, $x = 2$. Отметим их на числовой оси и определим знаки в получившихся интервалах.

Проверим знак в крайнем правом интервале, взяв, например, $x = 3$: $(2 \cdot 3 + 3)(3 - 2)(3 + 6) = 9 \cdot 1 \cdot 9 > 0$.

Двигаясь справа налево, знаки будут чередоваться, так как все корни имеют нечетную кратность: $(2, \infty): +$; $(-3/2, 2): -$; $(-6, -3/2): +$; $(-\infty, -6): -$.

Нам нужны интервалы, где выражение меньше нуля. Это $(-\infty, -6)$ и $(-3/2, 2)$.

Теперь учтем условие $x \neq 1/4$. Точка $x = 1/4$ (или $x = 0.25$) находится внутри интервала $(-3/2, 2)$ (то есть $(-1.5, 2)$). Исключаем эту точку, разбивая интервал на два: $(-3/2, 1/4)$ и $(1/4, 2)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -6) \cup (-3/2, 1/4) \cup (1/4, 2)$.

4)

Решим неравенство $(1 - 3x)^3(x + 2)^2(x - 4)^5(x - 3) > 0$.

Применим метод интервалов. Нули левой части: $x = 1/3$, $x = -2$, $x = 4$, $x = 3$.

Множитель $(x + 2)^2$ имеет четную степень и всегда неотрицателен. Так как неравенство строгое, $(x + 2)^2 \neq 0$, что означает $x \neq -2$. При $x \neq -2$ этот множитель положителен, и на него можно разделить неравенство.

Множители $(1 - 3x)^3$ и $(x - 4)^5$ имеют нечетные степени, поэтому их знаки совпадают со знаками их оснований $(1 - 3x)$ и $(x - 4)$ соответственно.

Неравенство эквивалентно системе:

$\begin{cases} (1 - 3x)(x - 4)(x - 3) > 0 \\ x \neq -2 \end{cases}$

Для удобства приведем множитель $(1 - 3x)$ к стандартному виду. Для этого умножим неравенство на $-1$, изменив его знак на противоположный:

$(3x - 1)(x - 4)(x - 3) < 0$

Решим это неравенство. Корни: $x = 1/3$, $x = 3$, $x = 4$. Расставим их на числовой оси и определим знаки.

Возьмем пробную точку $x=5$: $(3 \cdot 5 - 1)(5 - 4)(5 - 3) > 0$.

Знаки в интервалах справа налево: $(4, \infty): +$; $(3, 4): -$; $(1/3, 3): +$; $(-\infty, 1/3): -$.

Нас интересуют интервалы, где выражение меньше нуля. Это $(-\infty, 1/3)$ и $(3, 4)$.

Теперь вернемся к условию $x \neq -2$. Точка $x = -2$ принадлежит интервалу $(-\infty, 1/3)$. Исключаем ее, разбивая интервал на два: $(-\infty, -2)$ и $(-2, 1/3)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -2) \cup (-2, 1/3) \cup (3, 4)$.