Номер 9.10, страница 96 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 9. Решение неравенств методом интервалов - номер 9.10, страница 96.

Условие.

9.10. Решите неравенство:

1) $\frac{5x+8}{4-x} < 2;$

2) $\frac{2}{x+3} > \frac{1}{x-1};$

3) $\frac{2x+3}{x^2+x-12} < \frac{1}{2};$

4) $\frac{x+7}{x-5} + \frac{3x+1}{2} > 0;$

5) $\frac{2x}{x^2-9} < \frac{1}{x+2};$

6) $\frac{1}{x-2} + \frac{1}{x-1} > \frac{1}{x}.$

Решение.

1) Перенесем все члены неравенства в левую часть:
$\frac{5x + 8}{4 - x} < 2$
$\frac{5x + 8}{4 - x} - 2 < 0$
Приведем к общему знаменателю:
$\frac{5x + 8 - 2(4 - x)}{4 - x} < 0$
$\frac{5x + 8 - 8 + 2x}{4 - x} < 0$
$\frac{7x}{4 - x} < 0$
Решим неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя:
$7x = 0 \Rightarrow x = 0$
$4 - x = 0 \Rightarrow x = 4$
Отметим точки 0 и 4 на числовой прямой. Так как знаменатель не может быть равен нулю, точка $x=4$ будет выколотой. Неравенство строгое, поэтому точка $x=0$ тоже выколотая.
Определим знаки выражения на интервалах $(-\infty; 0)$, $(0; 4)$, $(4; +\infty)$.
При $x < 0$ (например, $x=-1$): $\frac{7(-1)}{4 - (-1)} = \frac{-7}{5} < 0$. Интервал подходит.
При $0 < x < 4$ (например, $x=1$): $\frac{7(1)}{4 - 1} = \frac{7}{3} > 0$. Интервал не подходит.
При $x > 4$ (например, $x=5$): $\frac{7(5)}{4 - 5} = \frac{35}{-1} < 0$. Интервал подходит.
Объединяя интервалы, получаем решение.
Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (4; +\infty)$.

2) Перенесем все члены неравенства в левую часть:
$\frac{2}{x + 3} > \frac{1}{x - 1}$
$\frac{2}{x + 3} - \frac{1}{x - 1} > 0$
Приведем к общему знаменателю $(x+3)(x-1)$:
$\frac{2(x - 1) - (x + 3)}{(x + 3)(x - 1)} > 0$
$\frac{2x - 2 - x - 3}{(x + 3)(x - 1)} > 0$
$\frac{x - 5}{(x + 3)(x - 1)} > 0$
Решим неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя:
$x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5$
$x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3$
$x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$
Отметим точки -3, 1, 5 на числовой прямой (все точки выколотые).
Определим знаки выражения на интервалах $(-\infty; -3)$, $(-3; 1)$, $(1; 5)$, $(5; +\infty)$.
При $x < -3$ (например, $x=-4$): $\frac{-}{(-)(-)} = - < 0$.
При $-3 < x < 1$ (например, $x=0$): $\frac{-}{(+)(-)} = + > 0$. Интервал подходит.
При $1 < x < 5$ (например, $x=2$): $\frac{-}{(+)(+)} = - < 0$.
При $x > 5$ (например, $x=6$): $\frac{+}{(+)(+)} = + > 0$. Интервал подходит.
Ответ: $x \in (-3; 1) \cup (5; +\infty)$.

3) Перенесем все члены неравенства в левую часть:
$\frac{2x + 3}{x^2 + x - 12} < \frac{1}{2}$
$\frac{2x + 3}{x^2 + x - 12} - \frac{1}{2} < 0$
Разложим знаменатель на множители: $x^2 + x - 12 = (x+4)(x-3)$.
$\frac{2x + 3}{(x+4)(x-3)} - \frac{1}{2} < 0$
Приведем к общему знаменателю $2(x+4)(x-3)$:
$\frac{2(2x + 3) - (x^2 + x - 12)}{2(x+4)(x-3)} < 0$
$\frac{4x + 6 - x^2 - x + 12}{2(x+4)(x-3)} < 0$
$\frac{-x^2 + 3x + 18}{2(x+4)(x-3)} < 0$
Умножим неравенство на -1, изменив знак на противоположный:
$\frac{x^2 - 3x - 18}{2(x+4)(x-3)} > 0$
Разложим числитель на множители: $x^2 - 3x - 18 = (x-6)(x+3)$.
$\frac{(x-6)(x+3)}{2(x+4)(x-3)} > 0$
Решим методом интервалов. Нули: -4, -3, 3, 6 (все точки выколотые).
Определим знаки на интервалах.
При $x < -4$: $\frac{(-)(-) }{(-)(-)} = + > 0$. Интервал подходит.
При $-4 < x < -3$: $\frac{(-)(-) }{(+)(-)} = - < 0$.
При $-3 < x < 3$: $\frac{(-)(+) }{(+)(-)} = + > 0$. Интервал подходит.
При $3 < x < 6$: $\frac{(-)(+) }{(+)(+)} = - < 0$.
При $x > 6$: $\frac{(+)(+) }{(+)(+)} = + > 0$. Интервал подходит.
Ответ: $x \in (-\infty; -4) \cup (-3; 3) \cup (6; +\infty)$.

4) Приведем дроби к общему знаменателю $2(x-5)$:
$\frac{x + 7}{x - 5} + \frac{3x + 1}{2} > 0$
$\frac{2(x + 7) + (3x + 1)(x - 5)}{2(x - 5)} > 0$
Раскроем скобки в числителе:
$\frac{2x + 14 + 3x^2 - 15x + x - 5}{2(x - 5)} > 0$
$\frac{3x^2 - 12x + 9}{2(x - 5)} > 0$
Разделим числитель на 3 (это не изменит знак неравенства):
$\frac{x^2 - 4x + 3}{2(x - 5)} > 0$
Разложим числитель на множители: $x^2 - 4x + 3 = (x-1)(x-3)$.
$\frac{(x-1)(x-3)}{2(x-5)} > 0$
Решим методом интервалов. Нули: 1, 3, 5 (все точки выколотые).
Определим знаки на интервалах.
При $x < 1$: $\frac{(-)(-) }{-} = - < 0$.
При $1 < x < 3$: $\frac{(+)(-) }{-} = + > 0$. Интервал подходит.
При $3 < x < 5$: $\frac{(+)(+) }{-} = - < 0$.
При $x > 5$: $\frac{(+)(+) }{+} = + > 0$. Интервал подходит.
Ответ: $x \in (1; 3) \cup (5; +\infty)$.

5) Перенесем все члены в левую часть:
$\frac{2x}{x^2 - 9} - \frac{1}{x + 2} < 0$
Разложим знаменатель $x^2-9 = (x-3)(x+3)$.
$\frac{2x}{(x-3)(x+3)} - \frac{1}{x + 2} < 0$
Приведем к общему знаменателю $(x-3)(x+3)(x+2)$:
$\frac{2x(x + 2) - (x^2 - 9)}{(x-3)(x+3)(x+2)} < 0$
$\frac{2x^2 + 4x - x^2 + 9}{(x-3)(x+3)(x+2)} < 0$
$\frac{x^2 + 4x + 9}{(x-3)(x+3)(x+2)} < 0$
Рассмотрим числитель $x^2 + 4x + 9$. Дискриминант $D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 16 - 36 = -20 < 0$. Так как старший коэффициент положителен, то выражение $x^2 + 4x + 9 > 0$ при всех $x$.
Следовательно, знак дроби зависит только от знака знаменателя:
$(x-3)(x+3)(x+2) < 0$
Решим методом интервалов. Нули: -3, -2, 3 (все точки выколотые).
Определим знаки на интервалах.
При $x < -3$: $(-)(-)(-) = - < 0$. Интервал подходит.
При $-3 < x < -2$: $(+)(-)(-) = + > 0$.
При $-2 < x < 3$: $(+)(+)(-) = - < 0$. Интервал подходит.
При $x > 3$: $(+)(+)(+) = + > 0$.
Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup (-2; 3)$.

6) Перенесем все члены в левую часть:
$\frac{1}{x - 2} + \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x} > 0$
Приведем к общему знаменателю $x(x-1)(x-2)$:
$\frac{x(x-1) + x(x-2) - (x-1)(x-2)}{x(x-1)(x-2)} > 0$
Раскроем скобки в числителе:
$\frac{x^2 - x + x^2 - 2x - (x^2 - 3x + 2)}{x(x-1)(x-2)} > 0$
$\frac{2x^2 - 3x - x^2 + 3x - 2}{x(x-1)(x-2)} > 0$
$\frac{x^2 - 2}{x(x-1)(x-2)} > 0$
Решим методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя.
$x^2 - 2 = 0 \Rightarrow x = \pm\sqrt{2}$
$x=0$, $x-1=0 \Rightarrow x=1$, $x-2=0 \Rightarrow x=2$.
Отметим на числовой прямой точки в порядке возрастания: $-\sqrt{2}, 0, 1, \sqrt{2}, 2$ (все выколотые).
Определим знаки на интервалах.
При $x < -\sqrt{2}$ (например, $x=-2$): $\frac{+}{(-)(-)(-)} = - < 0$.
При $-\sqrt{2} < x < 0$ (например, $x=-1$): $\frac{-}{(-)(-)(-)} = + > 0$. Интервал подходит.
При $0 < x < 1$ (например, $x=0.5$): $\frac{-}{(+)(-)(-)} = - < 0$.
При $1 < x < \sqrt{2}$ (например, $x=1.2$): $\frac{-}{(+)(+)(-)} = + > 0$. Интервал подходит.
При $\sqrt{2} < x < 2$ (например, $x=1.5$): $\frac{+}{(+)(+)(-)} = - < 0$.
При $x > 2$ (например, $x=3$): $\frac{+}{(+)(+)(+)} = + > 0$. Интервал подходит.
Ответ: $x \in (-\sqrt{2}; 0) \cup (1; \sqrt{2}) \cup (2; +\infty)$.