Номер 9.8, страница 95 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 9. Решение неравенств методом интервалов - номер 9.8, страница 95.

Условие.

9.8. Решите неравенство:

1) $\frac{x}{x + 2} < 0;$

2) $\frac{(3x - 2)(4 - x)}{(x + 3)(x - 1)} > 0;$

3) $\frac{(x - 2)(2x + 1)^3}{(3 - x)^4 (1 - 5x)^5} > 0;$

4) $\frac{x^2 - 5x + 7}{-2x^2 + 3x + 2} > 0;$

5) $\frac{(x - 2)(x^2 - 1)(4x - 5 - 3x^2)}{x + 7} < 0;$

6) $\frac{(x^3 - 8)(x^2 - 6x - 7)}{(3x - 2x^2 - 4)(3x^2 - 10x + 3)} < 0;$

7) $\frac{x^2 + 5x - 6}{(x + 2)(1 - 3x)} < 0;$

8) $\frac{(x^4 - 3x^2)(x^4 + x^3 - 8x - 8)}{(1 - x)(x + 2)} < 0.$

Решение.

1) Решим неравенство $\frac{x}{x+2} < 0$ методом интервалов.
Приравняем числитель и знаменатель к нулю, чтобы найти точки, в которых выражение меняет знак: $x = 0$ и $x + 2 = 0 \implies x = -2$.
Нанесем эти точки на числовую ось. Так как неравенство строгое, точки будут "выколотыми". Они разбивают ось на три интервала: $(-\infty, -2)$, $(-2, 0)$ и $(0, \infty)$.
Определим знак выражения в каждом интервале, подставив любое значение из него:

• Интервал $(0, \infty)$: возьмем $x=1$, получим $\frac{1}{1+2} = \frac{1}{3} > 0$ (знак "+").
• Интервал $(-2, 0)$: возьмем $x=-1$, получим $\frac{-1}{-1+2} = -1 < 0$ (знак "−").
• Интервал $(-\infty, -2)$: возьмем $x=-3$, получим $\frac{-3}{-3+2} = 3 > 0$ (знак "+").

Нас интересуют значения, где выражение меньше нуля, то есть интервал со знаком "−".
Ответ: $x \in (-2, 0)$.

2) Решим неравенство $\frac{(3x-2)(4-x)}{(x+3)(x-1)} > 0$.
Для удобства приведем множитель $(4-x)$ к стандартному виду: $4-x = -(x-4)$.
Неравенство примет вид: $\frac{(3x-2)(-(x-4))}{(x+3)(x-1)} > 0$.
Домножим обе части на $-1$ и изменим знак неравенства на противоположный: $\frac{(3x-2)(x-4)}{(x+3)(x-1)} < 0$.
Найдем нули числителя и знаменателя: $3x-2=0 \implies x=2/3$; $x-4=0 \implies x=4$; $x+3=0 \implies x=-3$; $x-1=0 \implies x=1$.
Отметим точки на числовой оси в порядке возрастания: $-3, 2/3, 1, 4$. Все точки выколотые.
Определим знаки выражения на получившихся интервалах. В крайнем правом интервале $(4, \infty)$ (при $x=5$) все множители положительны, значит, знак "+". Далее знаки чередуются, так как все корни имеют нечетную кратность (равную 1). Знаки на интервалах: $(-\infty, -3) \rightarrow (+)$, $(-3, 2/3) \rightarrow (-)$, $(2/3, 1) \rightarrow (+)$, $(1, 4) \rightarrow (-)$, $(4, \infty) \rightarrow (+)$.
Нам нужны интервалы, где выражение меньше нуля, то есть со знаком "−".
Ответ: $x \in (-3, 2/3) \cup (1, 4)$.

3) Решим неравенство $\frac{(x-2)(2x+1)^3}{(3-x)^4(1-5x)^5} > 0$.
Приведем множители к стандартному виду: $(3-x)^4 = (-(x-3))^4 = (x-3)^4$ (т.к. степень четная). $(1-5x)^5 = (-(5x-1))^5 = -(5x-1)^5$ (т.к. степень нечетная).
Неравенство примет вид: $\frac{(x-2)(2x+1)^3}{(x-3)^4(-(5x-1)^5)} > 0$.
Домножим на $-1$ и сменим знак: $\frac{(x-2)(2x+1)^3}{(x-3)^4(5x-1)^5} < 0$.
Найдем нули и их кратность: $x=2$ (кратность 1, нечетная), $x=-1/2$ (кратность 3, нечетная), $x=3$ (кратность 4, четная), $x=1/5$ (кратность 5, нечетная).
Отметим точки на оси: $-1/2, 1/5, 2, 3$. При переходе через корень четной кратности ($x=3$) знак выражения не меняется. Определим знак в крайнем правом интервале $(3, \infty)$ (при $x=4$): $\frac{(+)(+)^3}{(+)^4(+)^5} > 0$ (знак "+"). Двигаясь справа налево, расставим знаки: $(3, \infty) \rightarrow (+)$; $(2, 3) \rightarrow (+)$; $(1/5, 2) \rightarrow (-)$; $(-1/2, 1/5) \rightarrow (+)$; $(-\infty, -1/2) \rightarrow (-)$.
Нам нужны интервалы со знаком "−".
Ответ: $x \in (-\infty, -1/2) \cup (1/5, 2)$.

4) Решим неравенство $\frac{x^2 - 5x + 7}{-2x^2 + 3x + 2} > 0$.
Рассмотрим числитель $x^2 - 5x + 7$. Найдем его дискриминант: $D = (-5)^2 - 4(1)(7) = 25 - 28 = -3$. Так как $D < 0$ и старший коэффициент $a=1>0$, то выражение $x^2 - 5x + 7$ всегда положительно. Значит, мы можем разделить обе части неравенства на это выражение, не меняя знака: $\frac{1}{-2x^2 + 3x + 2} > 0$.
Это неравенство равносильно $-2x^2 + 3x + 2 > 0$. Умножим на $-1$ и сменим знак: $2x^2 - 3x - 2 < 0$.
Найдем корни уравнения $2x^2 - 3x - 2 = 0$. $D = (-3)^2 - 4(2)(-2) = 9 + 16 = 25$. $x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{4}$, откуда $x_1 = 2$ и $x_2 = -1/2$. Парабола $y = 2x^2 - 3x - 2$ имеет ветви вверх, поэтому она принимает отрицательные значения между своими корнями.
Ответ: $x \in (-1/2, 2)$.

5) Решим неравенство $\frac{(x-2)(x^2-1)(4x-5-3x^2)}{x+7} < 0$.
Разложим выражения в числителе на множители: $x^2-1 = (x-1)(x+1)$. $4x-5-3x^2 = -(3x^2-4x+5)$. Для $3x^2-4x+5$ дискриминант $D = (-4)^2 - 4(3)(5) = 16-60 = -44 < 0$. Так как старший коэффициент $a=3>0$, выражение $3x^2-4x+5$ всегда положительно. Следовательно, множитель $(4x-5-3x^2)$ всегда отрицателен.
Неравенство можно переписать так: $\frac{(x-2)(x-1)(x+1) \cdot (\text{отрицательное число})}{x+7} < 0$.
Разделим обе части на это отрицательное число и сменим знак неравенства: $\frac{(x-2)(x-1)(x+1)}{x+7} > 0$.
Нули: $x=2, x=1, x=-1, x=-7$. Отметим точки на оси: $-7, -1, 1, 2$. В крайнем правом интервале $(2, \infty)$ выражение положительно. Все корни имеют нечетную кратность, поэтому знаки чередуются. Знаки на интервалах: $(-\infty, -7) \rightarrow (+)$, $(-7, -1) \rightarrow (-)$, $(-1, 1) \rightarrow (+)$, $(1, 2) \rightarrow (-)$, $(2, \infty) \rightarrow (+)$.
Нам нужны интервалы со знаком "+".
Ответ: $x \in (-\infty, -7) \cup (-1, 1) \cup (2, \infty)$.

6) Решим неравенство $\frac{(x^3-8)(x^2-6x-7)}{(3x-2x^2-4)(3x^2-10x+3)} < 0$.
Разложим на множители каждый сомножитель:

• $x^3-8 = (x-2)(x^2+2x+4)$. Выражение $x^2+2x+4$ всегда положительно ($D<0, a>0$).
• $x^2-6x-7 = (x-7)(x+1)$.
• $3x-2x^2-4 = -(2x^2-3x+4)$. Выражение $2x^2-3x+4$ всегда положительно ($D<0, a>0$), значит $3x-2x^2-4$ всегда отрицательно.
• $3x^2-10x+3$. Корни $x=3, x=1/3$. Раскладывается как $3(x-3)(x-1/3) = (x-3)(3x-1)$.

Неравенство принимает вид: $\frac{(x-2)(x-7)(x+1) \cdot (\text{положительное число})}{(\text{отрицательное число}) \cdot (x-3)(3x-1)} < 0$.
Упрощаем и меняем знак: $\frac{(x-2)(x-7)(x+1)}{(x-3)(3x-1)} > 0$.
Нули: $x=-1, x=1/3, x=2, x=3, x=7$. Знаки на интервалах (справа налево): +, -, +, -, +, -.
Нам нужны интервалы со знаком "+".
Ответ: $x \in (-1, 1/3) \cup (2, 3) \cup (7, \infty)$.

7) Решим неравенство $\frac{x^2+5x-6}{(x+2)(1-3x)} < 0$.
Разложим числитель на множители: $x^2+5x-6=0 \implies x_1=1, x_2=-6$. Так, $x^2+5x-6 = (x-1)(x+6)$.
Преобразуем знаменатель: $(x+2)(1-3x) = -(x+2)(3x-1)$.
Неравенство: $\frac{(x-1)(x+6)}{-(x+2)(3x-1)} < 0$.
Умножим на $-1$ и сменим знак: $\frac{(x-1)(x+6)}{(x+2)(3x-1)} > 0$.
Нули: $x=-6, x=-2, x=1/3, x=1$. Знаки на интервалах (справа налево): +, -, +, -, +.
Нам нужны интервалы со знаком "+".
Ответ: $x \in (-\infty, -6) \cup (-2, 1/3) \cup (1, \infty)$.

8) Решим неравенство $\frac{(x^4-3x^2)(x^4+x^3-8x-8)}{(1-x)(x+2)} < 0$.
Разложим на множители:

• $x^4-3x^2 = x^2(x^2-3) = x^2(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})$.
• $x^4+x^3-8x-8 = x^3(x+1)-8(x+1)=(x^3-8)(x+1)=(x-2)(x^2+2x+4)(x+1)$. Выражение $x^2+2x+4$ всегда положительно.
• $1-x = -(x-1)$.

Неравенство примет вид: $\frac{x^2(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})(x-2)(x+1) \cdot (\text{положительное число})}{-(x-1)(x+2)} < 0$.
Умножим на $-1$ и сменим знак: $\frac{x^2(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})(x-2)(x+1)}{(x-1)(x+2)} > 0$.
Нули и их кратность: $-2(1), -\sqrt{3}(1), -1(1), 0(2), 1(1), \sqrt{3}(1), 2(1)$.
Отметим точки на оси: $-2, -\sqrt{3}, -1, 0, 1, \sqrt{3}, 2$. Корень $x=0$ имеет четную кратность (2), поэтому при переходе через него знак не меняется. Знак в крайнем правом интервале $(2, \infty)$ — положительный. Знаки на интервалах (справа налево): $+, -, +, -, -, +, -, +$.
Нам нужны интервалы со знаком "+".
Ответ: $x \in (-\infty, -2) \cup (-\sqrt{3}, -1) \cup (1, \sqrt{3}) \cup (2, \infty)$.