Номер 9.15, страница 96 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 9. Решение неравенств методом интервалов - номер 9.15, страница 96.

Условие.

9.15. Решите неравенство $\left|\frac{x+2}{x}\right|(x^2-4x-5)\le 0$.

Решение.

Решим неравенство $|\frac{x+2}{x}| (x^2-4x-5) \le 0$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби в выражении под модулем не должен быть равен нулю, следовательно, $x \ne 0$.

Множитель $|\frac{x+2}{x}|$ по определению модуля является неотрицательной величиной, то есть $|\frac{x+2}{x}| \ge 0$ для всех $x$ из ОДЗ.

Произведение неотрицательного множителя на второй множитель $(x^2-4x-5)$ будет меньше или равно нулю в следующих двух случаях:

1. Произведение равно нулю. Это происходит, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

Либо $|\frac{x+2}{x}| = 0$, что равносильно $x+2=0$, откуда $x=-2$.

Либо $x^2-4x-5=0$. Найдем корни этого квадратного уравнения, используя теорему Виета. Сумма корней равна 4, а их произведение равно -5. Следовательно, корнями являются $x_1=-1$ и $x_2=5$.

Таким образом, при $x \in \{-2, -1, 5\}$ неравенство обращается в верное равенство $0=0$.

2. Произведение строго меньше нуля. Это возможно только если первый множитель строго положителен, а второй — строго отрицателен, так как первый множитель не может быть отрицательным.

Это приводит к системе неравенств:

$\begin{cases} |\frac{x+2}{x}| > 0 \\ x^2-4x-5 < 0 \end{cases}$

Первое неравенство, $|\frac{x+2}{x}| > 0$, выполняется для всех $x$ из ОДЗ, для которых выражение под модулем не равно нулю. То есть, при $x \ne 0$ и $x \ne -2$.

Второе неравенство, $x^2-4x-5 < 0$. Мы уже нашли корни уравнения $x^2-4x-5=0$, это -1 и 5. Так как график функции $y=x^2-4x-5$ — это парабола с ветвями вверх, то значения функции отрицательны между корнями. Таким образом, решение этого неравенства есть интервал $(-1, 5)$.

Решением системы является пересечение множеств, найденных для каждого неравенства: $x \in (-1, 5)$ и при этом $x \ne 0$ и $x \ne -2$. Условие $x \ne -2$ для интервала $(-1, 5)$ выполняется автоматически. Исключая $x=0$, получаем $x \in (-1, 0) \cup (0, 5)$.

Итоговое решение исходного неравенства является объединением решений из обоих случаев.

Объединяем множество точек, где произведение равно нулю, $\{-2, -1, 5\}$, и множество интервалов, где оно строго отрицательно, $(-1, 0) \cup (0, 5)$.

$\{-2, -1, 5\} \cup ((-1, 0) \cup (0, 5)) = \{-2\} \cup [-1, 0) \cup (0, 5]$.

Ответ: $x \in \{-2\} \cup [-1, 0) \cup (0, 5]$.