Номер 9.20, страница 97 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 9. Решение неравенств методом интервалов - номер 9.20, страница 97.

Условие.

9.20. Решите неравенство $\left| \frac{x-1}{x^2 - 16} \right| \leq \frac{x-1}{x^2 - 16}$

Решение.

Данное неравенство имеет вид $|A| \le A$, где $A = \frac{x-1}{x^2-16}$. По определению абсолютной величины (модуля), неравенство $|A| \le A$ выполняется тогда и только тогда, когда выражение $A$ неотрицательно, то есть $A \ge 0$. Если $A < 0$, то $|A| = -A > 0$, и неравенство $-A \le A$ неверно, так как положительное число не может быть меньше или равно отрицательному.

Следовательно, исходное неравенство равносильно следующему рациональному неравенству:

$\frac{x-1}{x^2-16} \ge 0$

Для решения этого неравенства воспользуемся методом интервалов. Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ), исключив значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль:

$x^2 - 16 \ne 0 \implies (x-4)(x+4) \ne 0 \implies x \ne 4$ и $x \ne -4$.

Теперь преобразуем неравенство, разложив знаменатель на множители:

$\frac{x-1}{(x-4)(x+4)} \ge 0$

Найдем нули числителя и знаменателя. Это точки $x=1$, $x=4$ и $x=-4$. Нанесем эти точки на числовую ось. Точки $x=-4$ и $x=4$ будут "выколотыми" (не входят в решение), так как они не принадлежат ОДЗ. Точка $x=1$ будет "закрашенной", так как неравенство нестрогое ($\ge$) и в этой точке дробь равна нулю.

Эти точки разбивают числовую ось на четыре интервала: $(-\infty, -4)$, $(-4, 1]$, $[1, 4)$ и $(4, +\infty)$. Определим знак выражения на каждом из этих интервалов, подставив пробную точку из каждого интервала:

• При $x \in (4, +\infty)$, например $x=5$: $\frac{5-1}{(5-4)(5+4)} = \frac{4}{1 \cdot 9} > 0$. Знак `+`.
• При $x \in (1, 4)$, например $x=2$: $\frac{2-1}{(2-4)(2+4)} = \frac{1}{(-2) \cdot 6} < 0$. Знак `-`.
• При $x \in (-4, 1)$, например $x=0$: $\frac{0-1}{(0-4)(0+4)} = \frac{-1}{(-4) \cdot 4} > 0$. Знак `+`.
• При $x \in (-\infty, -4)$, например $x=-5$: $\frac{-5-1}{(-5-4)(-5+4)} = \frac{-6}{(-9) \cdot (-1)} < 0$. Знак `-`.

Мы ищем значения $x$, при которых выражение больше или равно нулю. Это соответствует интервалам со знаком `+` и точке, где выражение равно нулю. Таким образом, решением являются промежутки $(-4, 1]$ и $(4, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-4, 1] \cup (4, +\infty)$.