Номер 9.25, страница 98 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 9. Решение неравенств методом интервалов - номер 9.25, страница 98.

Условие.

9.25. Решите уравнение:

1) $|2x - 1| + |x^2 - x - 6| = x^2 + x - 7;$

2) $|x^2 - 4| + |x^2 - x - 2| = |2x^2 - x - 6|.$

Решение.

1)

Данное уравнение имеет вид $|a| + |b| = a + b$, где $a = 2x - 1$ и $b = x^2 - x - 6$. Проверим сумму $a+b$: $(2x - 1) + (x^2 - x - 6) = x^2 + x - 7$. Правая часть уравнения действительно равна $a+b$.

Равенство $|a| + |b| = a + b$ выполняется тогда и только тогда, когда оба выражения под модулем неотрицательны, то есть $a \ge 0$ и $b \ge 0$.

Таким образом, исходное уравнение равносильно системе неравенств:

$\begin{cases} 2x - 1 \ge 0 \\ x^2 - x - 6 \ge 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство:

$2x - 1 \ge 0 \implies 2x \ge 1 \implies x \ge \frac{1}{2}$.

Решим второе неравенство. Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - x - 6 = 0$. По теореме Виета или через дискриминант находим корни $x_1 = -2$ и $x_2 = 3$. Так как ветви параболы $y = x^2 - x - 6$ направлены вверх, неравенство $x^2 - x - 6 \ge 0$ выполняется при $x \in (-\infty, -2] \cup [3, +\infty)$.

Найдем пересечение решений обоих неравенств: $x \ge \frac{1}{2}$ и $x \in (-\infty, -2] \cup [3, +\infty)$. Общим решением является промежуток $[3, +\infty)$.

Ответ: $[3, +\infty)$.

2)

Данное уравнение имеет вид $|a| + |b| = |a + b|$. Пусть $a = x^2 - 4$ и $b = x^2 - x - 2$. Тогда их сумма $a+b = (x^2 - 4) + (x^2 - x - 2) = 2x^2 - x - 6$. Выражение в правой части уравнения действительно равно $a+b$.

Равенство $|a| + |b| = |a + b|$ выполняется тогда и только тогда, когда выражения $a$ и $b$ имеют одинаковый знак, то есть их произведение неотрицательно: $a \cdot b \ge 0$.

Таким образом, исходное уравнение равносильно неравенству:

$(x^2 - 4)(x^2 - x - 2) \ge 0$.

Разложим каждый множитель на линейные сомножители.

$x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$.

Для $x^2 - x - 2 = 0$ корнями являются $x_1 = -1$ и $x_2 = 2$. Тогда $x^2 - x - 2 = (x+1)(x-2)$.

Подставим разложения в неравенство:

$(x-2)(x+2)(x+1)(x-2) \ge 0$

$(x-2)^2(x+1)(x+2) \ge 0$.

Множитель $(x-2)^2$ всегда неотрицателен (равен нулю при $x=2$ и положителен при $x \ne 2$).

1. Если $x=2$, неравенство принимает вид $0 \ge 0$, что является верным. Значит, $x=2$ — корень уравнения.

2. Если $x \ne 2$, то $(x-2)^2 > 0$, и мы можем разделить обе части неравенства на этот положительный множитель, не меняя знака:

$(x+1)(x+2) \ge 0$.

Решим это неравенство методом интервалов. Корни левой части: $x=-1$ и $x=-2$. Ветви параболы $y=(x+1)(x+2)$ направлены вверх, поэтому решение неравенства: $x \in (-\infty, -2] \cup [-1, +\infty)$.

Объединяя полученные решения ($x=2$ и $x \in (-\infty, -2] \cup [-1, +\infty)$), и учитывая, что точка $x=2$ входит в промежуток $[-1, +\infty)$, получаем итоговый ответ.

Ответ: $(-\infty, -2] \cup [-1, +\infty)$.