Номер 9.28, страница 98 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 9. Решение неравенств методом интервалов - номер 9.28, страница 98.

Условие.

9.28. Найдите множество решений неравенства в зависимости от значения параметра $a$:

1) $|x-a|(7x^2 - 4x - 3) < 0$;

2) $|x-a|(7x^2 - 4x - 3) \le 0$.

Решение.

1)

Рассмотрим неравенство $|x - a|(7x^2 - 4x - 3) < 0$.

Множитель $|x - a|$ является неотрицательным для любых действительных $x$ и $a$, то есть $|x - a| \ge 0$.

Для того чтобы произведение двух множителей было отрицательным, необходимо, чтобы один множитель был положительным, а другой — отрицательным.

Поскольку $|x - a| \ge 0$, данное неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} |x - a| > 0 \\ 7x^2 - 4x - 3 < 0 \end{cases}$

Первое условие $|x - a| > 0$ выполняется при $x \neq a$.

Для второго условия $7x^2 - 4x - 3 < 0$ найдем корни соответствующего квадратного уравнения $7x^2 - 4x - 3 = 0$.

Дискриминант $D = (-4)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-3) = 16 + 84 = 100$.

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{4 - \sqrt{100}}{2 \cdot 7} = \frac{4 - 10}{14} = -\frac{6}{14} = -\frac{3}{7}$

$x_2 = \frac{4 + \sqrt{100}}{2 \cdot 7} = \frac{4 + 10}{14} = \frac{14}{14} = 1$

Так как ветви параболы $y = 7x^2 - 4x - 3$ направлены вверх (коэффициент при $x^2$ положителен), неравенство $7x^2 - 4x - 3 < 0$ выполняется при $x$, находящихся между корнями, то есть $x \in (-\frac{3}{7}, 1)$.

Объединяя оба условия ($x \in (-\frac{3}{7}, 1)$ и $x \neq a$), получаем, что решение зависит от положения параметра $a$ относительно интервала $(-\frac{3}{7}, 1)$.

• Если параметр $a$ не принадлежит интервалу $(-\frac{3}{7}, 1)$, то есть $a \le -\frac{3}{7}$ или $a \ge 1$, то условие $x \neq a$ не исключает ни одной точки из интервала $(-\frac{3}{7}, 1)$. В этом случае решением является весь интервал.

• Если параметр $a$ принадлежит интервалу $(-\frac{3}{7}, 1)$, то есть $-\frac{3}{7} < a < 1$, то из интервала решений $(-\frac{3}{7}, 1)$ необходимо исключить точку $x = a$.

Ответ: если $a \in (-\infty, -\frac{3}{7}] \cup [1, +\infty)$, то $x \in (-\frac{3}{7}, 1)$; если $a \in (-\frac{3}{7}, 1)$, то $x \in (-\frac{3}{7}, a) \cup (a, 1)$.

2)

Рассмотрим неравенство $|x - a|(7x^2 - 4x - 3) \le 0$.

Поскольку множитель $|x - a| \ge 0$ для всех $x$, неравенство выполняется в двух случаях: либо произведение равно нулю, либо оно строго отрицательно. Это равносильно совокупности двух условий:

$\left[ \begin{array}{l} x - a = 0 \\ 7x^2 - 4x - 3 \le 0 \end{array} \right.$

Первое уравнение дает решение $x=a$.

Второе неравенство, $7x^2 - 4x - 3 \le 0$, как мы выяснили в предыдущем пункте, имеет решение $x \in [-\frac{3}{7}, 1]$ (включая концы, так как неравенство нестрогое).

Общее множество решений неравенства — это объединение решений этих двух условий: $\{a\} \cup [-\frac{3}{7}, 1]$.

Проанализируем это множество в зависимости от значения параметра $a$.

• Если параметр $a$ принадлежит отрезку $[-\frac{3}{7}, 1]$, то есть $-\frac{3}{7} \le a \le 1$, то точка $x=a$ уже содержится в отрезке $[-\frac{3}{7}, 1]$. Объединение множеств в этом случае дает сам отрезок.

• Если параметр $a$ не принадлежит отрезку $[-\frac{3}{7}, 1]$, то есть $a < -\frac{3}{7}$ или $a > 1$, то точка $x=a$ является изолированным решением, которое добавляется к отрезку $[-\frac{3}{7}, 1]$.

Ответ: если $a \in [-\frac{3}{7}, 1]$, то $x \in [-\frac{3}{7}, 1]$; если $a \in (-\infty, -\frac{3}{7}) \cup (1, +\infty)$, то $x \in [-\frac{3}{7}, 1] \cup \{a\}$.