Номер 9.33, страница 98 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 9. Решение неравенств методом интервалов - номер 9.33, страница 98.

Условие.

9.33. Решите уравнение $| |x - 1| - 1| = 2$.

Решение.

Данное уравнение $| |x - 1| - 1 | = 2$ решается путем последовательного раскрытия модулей. Уравнение вида $|f(x)| = a$, где $a \ge 0$, равносильно совокупности двух уравнений: $f(x) = a$ и $f(x) = -a$.

Применим это правило к нашему уравнению. Здесь $f(x) = |x - 1| - 1$ и $a=2$. Получаем два случая:

1. $|x - 1| - 1 = 2$
2. $|x - 1| - 1 = -2$

Рассмотрим каждый случай отдельно.

1. Решим уравнение $|x - 1| - 1 = 2$

Сначала изолируем выражение с модулем, перенеся $-1$ в правую часть:

$|x - 1| = 2 + 1$

$|x - 1| = 3$

Теперь снова применяем правило раскрытия модуля. Это уравнение равносильно двум линейным уравнениям:

а) $x - 1 = 3$

$x = 3 + 1$

$x_1 = 4$

б) $x - 1 = -3$

$x = -3 + 1$

$x_2 = -2$

В первом случае мы нашли два корня: 4 и -2.

2. Решим уравнение $|x - 1| - 1 = -2$

Изолируем выражение с модулем:

$|x - 1| = -2 + 1$

$|x - 1| = -1$

По определению, абсолютная величина (модуль) любого действительного числа всегда неотрицательна, то есть $|a| \ge 0$. Так как в правой части уравнения стоит отрицательное число (-1), данное уравнение не имеет решений в действительных числах.

Объединяя решения, полученные в первом и втором случаях, получаем окончательный ответ.

Ответ: -2; 4.